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第1章 行列式 1

第一节 行列式的定义与性质 1

1.1.1 2阶行列式与一类2元线性方程组的解 1

1.1.2 n阶行列式的定义 3

1.1.3 行列式的基本性质 7

习题1.1 11

第二节 行列式的计算 12

习题1.2 20

第三节 Cramer法则 23

习题1.3 26

第1章附录 求和符号“∑” 27

第2章 矩阵 30

第一节 矩阵及其运算 30

2.1.1 矩阵的概念 30

2.1.2 矩阵的代数运算 34

2.1.3 矩阵的转置 43

2.1.4 方阵的行列式 46

习题2.1 48

第二节 逆矩阵 49

习题2.2 56

第三节 分块矩阵及其运算 58

2.3.1 子矩阵 58

2.3.2 分块矩阵 58

习题2.3 63

第四节 初等变换与初等矩阵 64

2.4.1 初等变换与初等矩阵 64

2.4.2 阶梯形矩阵 67

2.4.3 再论可逆矩阵 70

习题2.4 72

第五节 矩阵的秩 74

习题2.5 78

3.1.1 向量的基本概念 80

第3章 几何向量及其应用 80

第一节 向量及其线性运算 80

3.1.2 向量的线性运算 81

3.1.3 向量共线、共面的充要条件 85

3.1.4 空间坐标系与向量的坐标 87

习题3.1 95

第二节 数量积 向量积 混合积 96

3.2.1 两个向量的数量积(内积、点积) 96

3.2.2 两个向量的向量积(外积、叉积) 100

3.2.3 混合积 102

习题3.2 104

第三节 平面和空间直线 105

3.3.1 平面的方程 106

3.3.2 两个平面的位置关系 109

3.3.3 空间直线的方程 110

3.3.4 两条直线的位置关系 113

3.3.5 直线与平面的位置关系 114

3.3.6 距离 115

习题3.3 117

第4章 n维向量与线性方程组 120

第一节 消元法 120

4.1.1 n元线性方程组 121

4.1.2 消元法 122

4.1.3 线性方程组的解 126

4.1.4 数域 132

习题4.1 133

第二节 向量组的线性相关性 133

4.2.1 n维向量及其线性运算 133

4.2.2 线性表示与等价向量组 136

4.2.3 线性相关与线性无关 140

习题4.2 146

4.3.1 向量组的极大无关组与向量组的秩 147

第三节 向量组的秩 147

4.3.2 向量组的秩与矩阵的秩的关系 150

习题4.3 154

第四节 线性方程组的解的结构 155

4.4.1 齐次线性方程组 156

4.4.2 非齐次线性方程组 162

习题4.4 167

第5章 线性空间与欧氏空间 170

第一节 线性空间的基本概念 170

5.1.1 线性空间的定义 170

5.1.2 线性空间的基本性质 172

5.1.3 线性子空间的定义 173

5.1.4 基、维数和向量的坐标 174

5.1.5 基变换与坐标变换 177

5.1.6线性空间的同构 179

5.1.7子空间的交与和 182

习题5.1 185

第二节 欧氏空间的基本概念 187

5.2.1 内积及其基本性质 187

5.2.2 范数和夹角 189

5.2.3 标准正交基及其基本性质 191

5.2.4 Gram-Schmidt(格拉姆-施密特)正交化方法 193

5.2.5 正交矩阵 196

5.2.6 矩阵的QR分解 197

5.2.7 正交分解和最小二乘法 198

习题5.2 204

第6章 特征值与特征向量 208

第一节 矩阵的特征值与特征向量 208

习题6.1 215

第二节 相似矩阵与矩阵的相似对角化 216

6.2.1 相似矩阵 216

6.2.2 矩阵可对角化的条件 217

6.2.3 实对称矩阵的对角化 223

习题6.2 229

第三节 应用举例 231

6.3.1 一类常系数线性微分方程组的求解 231

6.3.2 Fibonacci数列与递推关系式的矩阵解法 234

习题6.3 236

第7章 二次曲面与二次型 238

第一节 曲面与空间曲线 238

7.1.1 曲面与空间曲线的方程 238

7.1.2 柱面锥面旋转面 242

7.1.3 五种典型的二次曲面 248

7.1.4 曲线在坐标面上的投影 252

7.1.5 空间区域的简图 253

习题7.1 255

第二节 实二次型 256

7.2.1 二次型及其矩阵表示 257

7.2.2 二次型的标准形 259

7.2.3 合同变换与惯性定理 263

7.2.4 正定二次型 265

7.2.5 二次曲面的标准方程 269

习题7.2 276

第8章 线性变换 279

第一节 线性变换及其运算 279

8.1.1 线性变换的定义及其基本性质 279

8.1.2 核与值域 281

8.1.3 线性变换的运算 284

习题8.1 286

第二节 线性变换的矩阵表示 288

8.2.1 线性变换的矩阵 288

8.2.2 线性算子在不同基下的矩阵之间的关系 292

习题8.2 292

附录A 习题参考答案与提示 294

附录B 本书常用符号说明 319

附录C 参考文献 321