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第一章 基础知识 1

1.1 集合 集合的运算 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 集合的运算 4

1.2 数集 5

1.2.1 数集 5

1.2.2 数的误差 7

1.3 向量及其运算 9

1.3.1 向量的概念 9

1.3.2 向量的运算 11

1.3.3 三维直角坐标系 15

1.3.4 向量的坐标表示 17

1.3.5 向量的坐标运算 18

1.4 空间曲线与曲面 20

1.4.1 曲面及其方程 20

1.4.2 曲面的等高线与等高线图 22

1.4.3 常见曲面的一般方程与参数方程 23

1.4.4 空间曲线及其方程 31

小结 35

习题 38

第二章 函数及其图像 42

2.1 映射与函数 42

2.1.1 映射 42

2.1.2 函数 43

2.2 一元函数的反函数 54

2.2.1 反函数的概念 54

2.2.2 互为反函数的图形特征 54

2.2.3 反函数存在定理 55

2.2.4 函数概念的推广 56

2.3 初等函数及图像 56

2.3.1 常函数 56

2.3.2 幂函数 56

2.3.3 指数函数与对数函数 57

2.3.4 三角函数与反三角函数 59

2.4 多元函数 64

2.4.1 例 64

2.4.2 平面点集和区域 65

2.4.3 多元函数概念 67

2.4.4 二元函数的定义域 68

2.4.5 二元函数的图像 69

2.4.6 多元初等函数 70

小结 70

习题 71

第三章 极限与连续 75

3.1 极限的概念 75

3.1.1 数列的极限 75

3.1.2 函数的极限 78

3.2 极限的运算法则 80

3.3 判断极限存在的两个准则与两个重要极限 82

3.3.1 判断极限存在的两个准则 82

3.3.2 两个重要极限 84

3.4 无穷小量与无穷大量 86

3.4.1 无穷小量与无穷大量的概念 86

3.4.2 无穷小的性质 88

3.4.3 无穷小的比较 88

3.5 函数的连续性 89

3.5.1 函数的连续与间断 89

3.5.2 初等函数的连续性 93

3.5.3 闭区间上连续函数的性质及其应用 95

3.5.4 多元函数的极限和连续性 97

小结 99

习题 102

第四章 微分学及应用 105

4.1 导数的概念 105

4.1.1 引例 105

4.1.2 导数的定义 107

4.1.3 导数的几何意义 108

4.1.4 可导与连续的关系 110

4.2 求导法则与基本求导公式 111

4.2.1 导数的四则运算 111

4.2.2 反函数的求导法则 112

4.2.3 复合函数的求导法则 112

4.2.4 隐函数的求导法则 113

4.2.5 由参数方程所确定的函数的求导法则 114

4.2.6 对数求导法 115

4.2.7 基本求导公式 115

4.3 高阶导数 116

4.3.1 高阶导数的定义 116

4.3.2 高阶导数的求法 117

4.4 微分 118

4.4.1 微分与可微 118

4.4.2 微分的几何意义 120

4.4.3 微分的求法 121

4.4.4 一阶微分形式的不变性 122

4.4.5 微分在近似计算中的应用 123

4.5 中值定理 124

4.5.1 罗尔定理 124

4.5.2 拉格朗日中值定理 125

4.5.3 柯西中值定理 126

4.6 导数的应用 127

4.6.1 洛必塔法则 127

4.6.2 函数单调性的判别 130

4.6.3 函数的极值 131

4.6.4 曲线的凹凸性、拐点、渐近线和函数作图 136

4.6.5 弧微分与曲率 140

4.7 偏导数及其应用 142

4.7.1 偏导数 142

4.7.2 全微分 145

4.7.3 多元复合函数和多元隐函数的求导法则 147

4.7.4 多元函数的极值 150

小结 154

习题 158

第五章 积分学及应用 161

5.1 不定积分 161

5.1.1 不定积分的概念及基本积分公式 161

5.1.2 不定积分的性质 163

5.1.3 基本积分法 163

5.2 定积分 170

5.2.1 累积问题举例 170

5.2.2 定积分的概念 173

5.2.3 定积分的几何意义 175

5.2.4 定积分的性质 177

5.2.5 微积分基本定理 179

5.2.6 定积分的换元法和分部积分法 183

5.3 广义积分 185

5.3.1 无穷区间上的积分 186

5.3.2 无界函数的积分 188

5.4 定积分的应用 189

5.4.1 平面图形的面积 189

5.4.2 旋转体的体积 192

5.4.3 定积分在物理学中的应用 194

5.5 重积分 196

5.5.1 二重积分的概念 196

5.5.2 二重积分的性质 198

5.5.3 二重积分的计算 199

5.5.4 二重积分的应用 205

5.6 积分的近似计算 207

5.6.1 矩形法 208

5.6.2 梯形法 209

5.6.3 抛物线法 209

5.6.4 广义积分的近似计算 211

5.6.5 二重积分的近似计算 211

5.7 曲线积分 212

5.7.1 对弧长的曲线积分 213

5.7.2 对坐标的曲线积分 215

5.7.3 格林公式 219

5.7.4 平面上曲线积分与路径无关的条件 221

小结 223

习题 226

第六章 级数与逼近 234

6.1 问题的引入 234

6.2 常数项级数的概念和性质 235

6.2.1 常数项级数及其敛散性概念 235

6.2.2 收敛级数的基本性质 238

6.3 常数项级数的敛散性判别法 241

6.3.1 正项级数及其敛散性判别法 242

6.3.2 交错级数及其敛散性判别法 247

6.3.3 绝对收敛与条件收敛 248

6.4 函数项级数 250

6.4.1 函数项级数的概念 250

6.4.2 幂级数及其收敛半径和收敛域 251

6.4.3 幂级数的运算 254

6.5 函数展开成幂级数 256

6.5.1 泰勒级数 256

6.5.2 函数展开成幂级数 261

6.5.3 幂级数在近似计算中的应用 265

6.6 函数逼近 267

6.6.1 多项式插值 267

6.6.2 分段插值法 271

6.7 曲线拟合的最小二乘法 273

6.7.1 直线拟合 273

6.7.2 多项式拟合 275

小结 276

习题 279

第七章 微分方程 283

7.1 微分方程的基本概念 283

7.1.1 例 283

7.1.2 微分方程的基本概念 286

7.2 一阶微分方程 287

7.2.1 变量分离方程 288

7.2.2 可化为变量分离方程的类型 289

7.2.3 一阶线性微分方程 291

7.2.4 贝努利方程 295

7.3 二阶线性微分方程 296

7.3.1 二阶线性微分方程的解的结构 296

7.3.2 二阶常系数线性微分方程 298

7.4 可降阶的高阶微分方程 308

7.4.1 y(n)=f(x)型的微分方程 308

7.4.2 y"=f(x,y')型的微分方程 309

7.4.3 y"=f(y,y')型的微分方程 310

7.5 微分方程组 311

7.6 微分方程的近似解 314

7.6.1 欧拉折线法 314

7.6.2 改进的欧拉折线法 315

7.6.3 龙格-库塔法 316

7.7 微分方程在实际中的应用 317

7.7.1 浓度问题 317

7.7.2 压强问题 318

7.7.3 力学问题 320

7.7.4 质点振动问题 321

7.7.5 R—L电路问题 323

7.7.6 经济分析中的问题 324

7.7.7 其他问题 325

小结 327

习题 329

习题答案 335

参考文献 351