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目录 1

第1章　基本概念 1

1.1 集合 1

1.2 映射 4

1.3　命题 8

1.4 证明 12

1.5 等价关系与序关系 18

1.6　算术基本定理 22

1.7 例题 26

第2章　平面解析几何概要 30

2.1 向量与数轴 30

2.2 直线在平面仿射坐标系下的方程 34

2.3 坐标变换与矩阵 39

2.4 过渡矩阵与可逆矩阵 45

2.5 直线在平面直角坐标系下的方程 49

2.6 二次曲线的标准方程 55

2.7 例题 60

第3章 向量空间与矩阵 66

3.1 空间仿射坐标系 66

3.2 几何向量空间的线性相关性 70

3.3　n维向量空间Fn 74

3.4　矩阵的行相抵分类 80

3.5　矩阵的运算 85

3.6 平面与直线在仿射坐标系下的方程 91

3.7 例题 97

第4章　矩阵的秩与相抵分类 103

4.1 向量组的线性相关性 103

4.2 向量组的秩 107

4.3 矩阵的秩 110

4.4 平面之间、直线之间以及平面与直线之间的关系 115

4.5 初等矩阵与可逆矩阵 119

4.6　分块初等变换 125

4.7 例题 130

第5章　二次曲面的仿射性质 135

5.1 用仿射坐标变换化简二次曲面方程 135

5.2 二次型的标准形 138

5.3 惯性定理与正定二次型 144

5.4 用坐标变换化简n元二次方程 148

5.5 二次曲面 152

5.6 二次曲面的仿射性质 158

5.7 例题 162

第6章　行列式 167

6.1 向量的内积、外积和混合积 167

6.2 空间直角坐标系 171

6.3 平面和直线的度量性质 175

6.4　n阶行列式的概念 179

6.5 行列式性质与克莱姆法则 185

6.6 行列式的应用 190

6.7 例题 195

第7章　二次曲面的度量性质 201

7.1 实对称矩阵的特征值与特征向量 201

7.2 实对称矩阵的正交相似分类 205

7.3 二次曲面在直角坐标系下的标准方程 209

7.4 二次曲面方程的化简 214

7.5 二次曲线的不变量和半不变量 220

7.6 二次曲面的不变量和半不变量 226

7.7 例题 231

第8章　一元多项式 236

8.1 一元多项式及其运算 236

8.2 整除性与最大公因式 240

8.3 用矩阵变换求多项式组的最大公因式 244

8.4 因式分解定理 248

8.5 复系数和实系数多项式的因式分解 252

8.6　有理系数多项式 256

8.7　例题 260

第9章　线性空间 264

9.1 线性空间的概念 264

9.2　基组与坐标 269

9.3 基变换与坐标变换 273

9.4 线性子空间 277

9.5 线性子空间的运算 281

9.6 线性空间的同构 286

9.7　例题 290

10.1 线性变换及其运算 295

第10章　线性变换 295

10.2 线性变换的矩阵 299

10.3 线性变换的特征值与特征向量 304

10.4 可对角化的线性变换 308

10.5 根子空间分解 312

10.6 线性变换的Jordan标准形 316

10.7　例题 320

第11章　方阵的Jordan标准形 326

11.1 方阵的相似分类与对角化 326

11.2　Jordan标准形与相似不变量 329

11.3 用Jordan链法求方阵的Jordan标准形 333

11.4 幂零上三角矩阵的Jordan标准形 338

11.5 方阵的Jordan标准形 343

11.6　方阵的Jordan分解 347

11.7 例题 351

第12章　欧氏空间与酉空间 356

12.1 欧氏空间的概念 356

12.2　标准正交基 360

12.3 欧氏空间的子空间 364

12.4 正交变换与对称变换 368

12.5 酉空间 371

12.6 共轭变换与正规变换 375

12.7 例题 379

习题答案与提示 383