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第一章 基本定义 1

1 定义和例 1

2 光滑函数与光滑映射 6

3 子流形和隐函数定理 10

4 技术性的问题 16

参考文献 23

第二章 切丛 25

1 流形的切丛 25

2 内在的描述 30

3 切空间的几何意义 34

4 球面的切丛 36

参考文献 39

第三章 矢量丛 40

1 定义和例 40

2 矢量丛上的运算 49

3 丛的正合序列，分裂和一的分割 56

4 法丛 64

5 仿紧性与一的分割 68

1 方向导数和矢量场 72

第四章 流形上的微分学 72

2 矢量场的几何，积分曲线 76

3 括弧运算和Frobenius定理 81

4 矢量场的拓扑学 92

5 附录 96

参考文献 100

第五章 Lie群 101

1 Lie群的Lie代数 101

2 局部同构，Sophus Lie的基本定理 110

3 指数映射，较深的结果 117

4 Lie群上的Taylor级数展开式，更多的应用 124

5 解析结构和存在性定理 136

6 单连通Lie群 140

参考文献 142

第六章 微分形式 143

1 引言 143

2 函数的微分与一次微分形式 145

3 外代数的概述 152

4 高次微分形式 158

5 其它问题 171

参考文献 176

第七章 积分 177

1 引言 177

2 单形 177

3 矢量空间中的积分 187

4 流形上的积分 199

5 应用 206

参考文献 216

第八章 de Rham定理 217

1 例和概述 217

2 奇异同调和de Rham定理 225

3 单纯形同调 230

4 de Rham定理的证明 237

5 复流形和Dolbeault上同调，一个简短的插曲 243

参考文献 252

第九章 同调理论 253

1 一般的代数知识 253

2 正合性 265

3 同伦，单形逼近 269

4 切断和Mayer-Vietoris序列 278

5 应用 290

6 CW复形和进一步的计算 296

参考文献 307

第十章 上同调 308

1 引言 308

2 Pontrjagin对偶性 310

3 乘积空间和Künneth公式 314

4 “上”积(Cup Product)与“卡”(Cap Product) 321

5 Thom同构定理 330

6 Hopf不变量 337

第十一章 Poincaré对偶性 344

1 引言 344

2 基本类 346

3 Poincaré对偶定理 355

4 Thom-Pontrjagin构造 364

5 相交理论 373