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1常微分方程初值问题数值解法 1

1.1引言 1

1.2欧拉法（Euler方法） 1

1.2.1欧拉方法 1

1.2.2收敛性研究 4

1.2.3稳定性研究 6

1.3梯形法、隐式格式的迭代计算 7

1.4一般单步法、Runge-Kutta格式 11

1.4.1一种构造单步法的方法——泰勒级数法 11

1.4.2一般单步法基本理论 12

1.4.3 Runge-Kutta格式 16

1.4.4误差控制和Runge-Kutta-Fehlberg法 22

1.5线性多步法 25

1.6误差的事后估计法、步长的自动选择 33

1.7高阶常微分方程（组）的数值方法 37

习题1 40

2抛物型方程的差分方法 42

2.1差分格式建立的基础 42

2.2显式差分格式 48

2.2.1一维常系数热传导方程的古典显式格式 48

2.2.2系数依赖于x的一维热传导方程的显式格式 51

2.3隐式差分格式 52

2.3.1古典隐式格式 52

2.3.2 Crank-Nicolson隐式格式 53

2.3.3加权六点隐式格式 55

2.3.4系数依赖于x，t的一维热传导方程的一个隐式格式的推导 56

2.4解三对角形方程组的追赶法 57

2.5差分格式的稳定性和收敛性 61

2.5.1问题的提出 61

2.5.2ε-图方法 63

2.5.3稳定性定义、稳定性分析的矩阵方法 65

2.5.4 Gerschgorin 定理及其在分析差分格式稳定性中的应用 76

2.5.5 稳定性分析的Fourier级数法（Von Neumann方法） 80

2.5.6低阶项对稳定性的影响 89

2.5.7差分格式的收敛性 90

2.5.8相容逼近、Lax等价性定理 92

2.6非线性抛物型方程的差分解法举例 92

2.6.1 Richtmyer线性方程 93

2.6.2 Lees三层差分格式 95

2.6.3算例 95

2.7二维抛物型方程的差分格式 96

2.7.1二维抛物型方程显式差分格式 96

2.7.2隐式差分格式 100

2.7.3差分格式的稳定性分析 102

2.8交替方向的隐式差分格式（ADI格式） 104

习题2 110

3椭圆型方程的差分方法 113

3.1正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问题的差分模拟 113

3.2 Neumann边值问题的差分模拟 115

3.3混合边值条件 119

3.4非矩形区域 121

3.5极坐标形式的差分格式 122

3.6矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近的敛速分析 123

3.7一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质研究 126

3.8椭圆型差分方程的迭代解法 134

3.8.1迭代法的基本理论 135

3.8.2 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代 137

3.8.3椭圆型方程差分格式的J acobi迭代和Gauss-Seidel迭代收敛速度计算举例 140

3.8.4超松弛迭代法 144

3.8.4.1逐次超松弛迭代法 144

3.8.4.2相容次序、性质（A）和最佳松弛因子的确定 146

3.8.4.3收敛速度 153

3.9多重网格法简介 154

3.9.1一个简单的例子、MG方法基本思想 154

3.9.2二重网格法、V循环 157

3.9.3多重网格法 159

习题3 162

4双曲型方程的差分方法 166

4.1一阶拟线性双曲线方程的特征线法 166

4.1.1一阶线性方程、特征线及Cauchy问题的解法 166

4.1.2一阶拟线性方程Cauchy问题的特征线法 168

4.2一阶拟线性双曲型方程组的特征线法 170

4.2.1一阶拟线性双曲型方程组、特征、正规形式 170

4.2.2举例 172

4.2.3两个未知函数情形的特征线法 175

4.3一阶双曲线方程的差分格式 180

4.3.1 Lax-Friedrichs格式 181

4.3.2 Courant- Isaacson-Rees格式 181

4.3.3 Leap-Frog格式（蛙跳格式） 185

4.3.4 Lax-Wendroff格式 186

4.3.5 Crank-Nicolson格式 187

4.4一阶双曲线方程组的差分格式 188

4.4.1 Lax-Friedrichs格式 188

4.4.2 Courant-Isaacson-Rees格式 189

4.4.3举例Courant-Friedrichs-Lewy条件 192

4.5二阶线性双曲型方程的差分方法 194

4.5.1显式差分格式 194

4.5.2隐式差分格式 198

习题4 199

5非线性双曲型守恒律方程的差分方法 202

5.1非线性双曲型守恒律简介、弱解的定义 202

5.2守恒型差分格式、Lax-Wendroff定理 206

5.3单调差分格式 209

5.4 TVD差分格式 210

5.5对一维方程组的推广 214

习题5 217

6有限元方法简介 218

6.1二阶常微分方程边值问题的有限元解法 218

6.2偏微分边值问题的有限元法 223

参考文献 237