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第一章 数系的扩展 1

1 等价关系和分类 1

2 代数运算和代数系 4

练习题1.1 11

3 序 11

4 序环(域) 14

练习题1.2 16

5 同构与扩张 16

练习题1.3 17

6 自然数公理 18

练习题1.4 22

7 由自然数构造整数环 23

8 由整数环构造有理域 24

练习题1.5 27

1 无理数危机与微积分公理基础 28

第二章 一维连续统的构造 28

2 有理数的不完备性与不连续性 30

练习题2.1 33

3 Cantor实数及其运算 34

练习题2.2 36

4 实数的序 37

练习题2.3 39

5 有理实数和实数的Cauchy准则 40

6 戴德金(Dedkind)实数 44

练习题2.4 44

第三章 实数的完备性、连续性与紧性 48

1 实数完备性的等价命题 48

2 实数的连续性 54

3 实数集的列紧性与紧性 56

练习题3.1 60

4 紧集上的连续映射 62

练习题3.2 66

5 连续映射的不动点和周期点 67

6 一维动力系统和Sarkovskii定理 71

练习题3.3 76

第四章 Riemann积分原理 78

1 Riemann可积性基本定理 78

2 (R)可积函数类 85

练习题4.1 91

3 有界变差函数 92

1 有界变差函数的定义和判定 92

2 有界变差函数的性质 96

3 全变差函数和Jordan分解定理 98

练习题4.2 100

4 Riemann-Stieltjes(黎曼-斯蒂吉斯)积分 101

1 (R-S)积分的定义 101

2 (R-S)可积性充要条件 103

3 (R-S)可积函数类 110

4 (R-S)积分的性质 112

5 (R-S)积分转化为(R)积分 119

练习题4.3 124

第五章 函数的多项式逼近 127

1 用有理运算诠释无理(或超越)运算 127

2 点邻域的渐近逼近 130

3 区间上的均方逼近 131

4 区间上的一致逼近 140

1 Weierstrass第一逼近定理 140

2 一致逼近的最小偏差多项式 141

3 最小零偏差问题与切比雪夫多项式 147

5 三角多项式对连续周期函数的一致逼近 150

练习题5 152

第六章 代数数与超越数 154

1 有理数域的代数扩张 154

2 超越数的发现 158

练习题6 167