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第一章 函数的极限 2

1.函数在无穷远处的极限 2

一、问题的引入 2

二、极限的描述与定义 8

三、函数的无界与无穷大量 12

四、依定义求极限之例 15

五、几个数列极限的推广 19

2.函数∞处极限的等价定义——序列语言 25

一、与数列极限的关系 25

二、函数极限的等价定义 29

三、柯西准则 30

3.函数在有限点处的极限 31

一、问题的引入 31

二、极限的描述与定义 37

三、依定义求极限之例 46

4.复合函数的极限 51

一、复合函数极限 52

二、极限在不同处的转化 54

三、e 的一般形式 55

一、函数极限的等价定义 56

5.函数极限的序列语言 56

二、柯西准则 58

6.函数极限的基本理论 59

一、基本性质 60

二、极限的四则运算 62

三、不等式的极限与夹值定理 66

四、一个重要的极限——lim(x→0)sinx/x=1 67

7.无穷小量 71

一、研究无穷小量的重要性 71

二、无穷小分析 82

三、等价无穷小 85

四、无穷小量的主部 87

一、直接利用极限定义 88

二、运用极限的四则运算 92

三、?解因式以消去趋于零的公因式 94

四、有理化后约去趋于零的？因式 99

五、重要极限 lim(x→0)sinx/x=1的运用 101

六、?限 e 的运用 104

七、夹值定理的应用 110

八、等价无穷小？换 114

九、函数连续性的利用 118

十、中值定理的应用 118

十一、洛彼塔法则 118

十二、泰勒级数的利用 118

本章小结 118

一、基本概念 118

二、主要内容 120

三、常用方法 122

1.《ε-σ》方法 122

2.转化法 125

习题 129

第二章 连续函数及其性质 134

1.连续与间断的意义 134

一、区分连续与间断的重要性 134

二、连续与间断的定义 142

三、连续与极限的异同 147

2.初等函数的连续性 148

一、连续函数与四则运算 149

二、单调函数的连续之判定 149

三、几类初等函数的连续性 154

四、复合函数的连续性 155

3.间断的类型及其例 159

一、可去间断点 159

二、广义可去间断点(无穷间断点) 160

三、单方连续的间断点——跳跃性的间断点 163

四、无任何极限的间断点——振荡间断点 166

五、杂例 167

4.连续函数的性质 175

一、收敛子数列的存在性 175

二、连续函数的基本性质Ⅰ——有界性 176

三、连续函数的基本性质Ⅱ——确界可达性 181

四、连续函数的基本性质Ⅲ——介值性 186

5.应用 191

一、根的存在与唯一 191

二、拉格尔定理 195

三、二分法——根的琢次逼近法之一 200

四、一维的不动点原理 202

根的逐次逼近法之二 208

五、媒介作用 213

六、反函数的连续性 218

本章小结 220

一、基本概念 220

二、主要内容与体系 221

三、常用方法——归谬法与举反例 222

1.归谬法 222

2.举反例 226

1)找特殊、走极端 227

2)利用直观 236

3)借鉴和改造 242

习题 244

第三章 一致性 250

1.函数的一致连续 250

一、问题的引入 250

二、一致连续的定义 254

三、一致连续的性质 258

四、一致连续的判定 260

2.函数列的一致收敛 265

一、问题的引入 265

二、一致收敛的定义 269

三、一致收敛的性质 271

四、一次收敛的判定 282

3.函数列的一致有界 288

一、问题的引入 288

二、一致有界的定义 289

三、一致有界的性质 289

4.普遍的一致性 296

一、记号与术语 296

5.等度连续性 298

一、问题的引入 298

二、一致性的普遍定义 298

二、等度连续的性质 299

三、阿采拉 Arzela 定理——收敛子函数列的存在定理 304

本章小结 307

一、基本概念 307

二、主要内容与体系 308

三、常用方法 308

1.抽象化 309

2.构造性证法 311

ⅰ)逐步逼近 312

ⅱ)几何启示 313

习题 315

第四章 导数及其应用 320

1.导数的意义 320

一、导数的来源 320

二、瞬变与均变 326

三、导数的定义 329

四、几何意义 332

五、导数的基本性质 333

六、几个基本初等函数的导数 334

2.求导法则 337

一、复合函数的导数 338

二、导数的四则运算 340

三、初等函数的导数 342

四、运用求导法则的几点注意 347

五、隐函数的求导法则 351

六、高阶导数的求法 354

3.不可导的类型及其例 360

一、有单边导数的情况 361

二、无单边导数的情形 366

三、导数存在但导函数不连续 369

四、孤立可导点 376

4.处处不可导的连续函数 378

一、构造的思路和步骤 378

二、意义与简史 385

5.单调性与不等式 393

一、函数的单调性 394

二、一元不等式 396

三、二元不等式 401

四、多元(三元以上)不等式 412

一、凸函数的引入 415

6.凸性与密切圆 415

二、凸函数的定义 418

三、凸函数的判定 421

四、琴生不等式及其应用 425

五、曲率与密切圆 429

7.极值问题 437

一、研究极值的重要性 437

二、极值的意义 439

三、极值的判定 442

五、应用之例 445

四、极值和最大、最小的求法 445

8.洛彼塔法则Ⅰ 470

9.导数在代数中的应用 473

一、求和问题 473

二、切线法(牛顿法)——根的逐步逼近法之三 479

三、根的判定 481

本章小结 484

一、基本概念 484

二、主要内容和体系 486

三、常用方法 486

1.分解法 487

2.降维法 492

ⅰ)变量代换 495

ⅱ)权把变量当常量 496

习题 499

第五章 微分、中值定理和泰勒公式 510

1.微分 510

一、微分的引入 510

二、微分与导数的关系 513

三、微分法则 514

四、参数方程的求导法则 515

五、微分在近似计算中的作用 519

2.拉格朗日中值定理 521

一、中值定理的导出 521

二、罗尔定理 523

三、中值定理的改进——拉格朗日中值定理 530

四、柯西中值定理 532

五、柯西中值定理的应用 534

六、柯西中值定理的推广 538

七、三点附注 539

3.中值定理的应用 541

一、导数恒为零的函数必为常量 542

二、单调性的判定与不等式的证明 544

三、在求极限中的应用 548

四、在级数中的应用 555

4.洛彼塔法则 564

一、洛彼塔法则2——不定式“0/0”的解法 564

二、洛彼塔法则1、2的比较 566

三、一点技巧 569

四、洛彼塔法则3——“∞/∞”的定值法 573

五、其他不定式的求法 581

六、局限性 585

七、重根的中值定理 588

5.泰勒公式 591

一、问题的引入 591

二、泰勒公式的导出 592

三、泰勒级数 594

四、∞Σ(n=0)？(x-a)？与泰勒级数的异同 596

五、初等函数的展开之一 598

六、欧拉公式 603

二、与三角函数的异同 605

6.双曲函数 605

一、双曲函数的引入 605

三、面积角——角的概念之推广 607

四、双曲函数的几何意义 613

五、双曲函数的展开 614

7.对数函数及二项式展开 614

一、柯西型余项 614

二、对数函数的展开 618

三、二项式展开 619

8.泰勒公式和泰勒级数的应用 630

一、极值存在的充要条件 631

二、泰勒级数与高阶导数的求法 632

三、利用泰勒公式求极限 633

四、根的近似求法与误差估算 637

9.多项式的一致逼近 649

一、问题的引入 649

二、多项式的一致逼近 651

三、伯恩斯坦多项式 656

一、基本概念 657

本章小结 657

二、主要内容与体系 659

三、常用方法 660

1.特殊化 660

(1)特殊化的意义 660

(2)特殊化与举反例 661

(3)特殊化运用之例 662

(4)特殊化的功效 670

(5)沟通普遍与特殊的手段 671

(2)作用和引法 672

2.辅助函数的引法 672

(1)意义 672

习题 681

第六章 函数项级数 689

1.研究函数项级数的必要性 689

一、数项级数的普遍化 689

二、泰勒展开的捷径 692

三、构造函数的工具 693

一、敛散性的定义 694

2.敛散性 694

二、敛散判别法 695

3.与函数列的关系 697

4.一致收敛性 699

一、一致收敛的重要性 699

二、一致收敛的定义 700

三、一致收敛的判别法 701

四、几点附注 703

五、阿贝尔变换 707

六、阿贝尔判别法 709

七、二项式展开的一致收敛性 711

5.级数和的连续性 712

一、级数和的连续性 712

二、二项式展开的补遗 713

三、逐项取极限 713

6.级数和的导数 714

一、逐项求导 714

二、改进 716

三、应用之例 718

一、幂级数的意义 722

7.幂级数 722

二、幂级数的特性 723

三、收敛域的类型 725

四、类型的异同 726

五、类型的判定和半径的确定 727

8.幂级数的可导性与泰勒展开 728

一、幂级数的一致收敛性 729

二、幂级数的连续性 730

三、幂级数的导数 731

四、幂级数的泰勒展开 736

五、幂级数的唯一性 737

六、反正弦、反余弦的展开 738

七、反正切、反余切的展开 741

9.幂级数的四则运算与泰勒展开 744

一、级数的和、差 745

二、累级数的可换性 746

三、级数的乘积 750

四、级数的倒数 753

五、级数的商 754

六、正、余割的展开 755

七、正、余切的展开 756

10.级数的求和 757

一、直接求和法 758

(1)表出 Su 758

(2)找出 Su 所满足的方程 759

(3)两边夹 761

二、幂级数法 768

(1)逐项求导 769

(2)分解化简 772

(3)组合消元 779

一、基本概念 781

本章小结 781

二、本章体系一览表 783

三、常用方法 784

1 组合法 785

(1)组合与分解 785

(2)组合的手段 786

ⅰ)精选典型、集腋成裘 787

ⅱ)寻联系、觅规律，组合本天成 789

ⅲ)着意搭配、组成反例 792

ⅳ)重新巧安排、旧貌换新颜 793

ⅴ)分合相济、各显神通 798

2 普遍化 801

(1)与特殊化的比较 801

(2)普遍化的意义 804

(3)普遍化的功效 805

ⅰ)适用面广 805

ⅱ)加深认识 806

(4)普遍化应用的范围 806

习题 807