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第六章 勒贝格不定积分.微分论 1

1.单调函数.积分对上限的可微性 2

1.单调函数的基本性质 2

2.单调函数的可微性 6

3.积分对上限求导数 14

2.有界变差函数 15

3.勒贝格不定积分的导数 21

4.用函数的导数求原函数.绝对连续函数 23

5.作为集函数的勒贝格积分.拉东-尼柯迪姆(Radon-Nikodym)定理 34

1.荷.汉恩分解和约当分解 34

2.荷的基本类型 37

3.绝对连续荷.拉东-尼柯迪姆定理 38

6.斯蒂尔吉斯(Stieltjes)积分 42

1.斯蒂尔吉斯测度 42

2.勒贝格-斯蒂尔吉斯积分 44

3.勒贝格-斯蒂尔吉斯积分在概率论中的某些应用 46

4.黎曼-斯蒂尔吉斯(Riemann-Stieltjes)积分 48

5.斯蒂尔吉斯积分号下取极限 53

6.连续函数空间中线性连续泛函的一般形式 56

第七章 可和函数空间 62

1.空间 L1 62

1.空间 L1真的定义与基本性质 62

2.L1中处处稠密的集合 64

2.空间 L2 68

1.定义与基本性质 68

2.无穷测度的情形 72

3.在 L2中处处稠密的集合.同构定理 74

4.复空间 L2 75

5.均方收敛及它与其他类型的泛函序列收敛性的联系 75

1.三角函数系.傅里叶三角级数 78

3.L2中的正交函数系.按正交系展开的级数 78

2.在闭区［0,π］上的三角函数系 81

3.复形式的傅里叶级数 82

4.勒让德(Legendre)多项式 84

5.乘积正交系.多重傅里叶级数 87

6.关于给定权正交的多项式 89

7.空间 L2(-∞，∞)与L2(0,∞)中的正交基 90

8.关于离散的正交多项式 92

9.哈尔(Haar)系与拉捷马赫尔-乌尔什(Radema-cher-Walsh)系 94

第八章 三角级数.傅里叶变换 97

1.傅里叶级数收敛的条件 97

1.傅里叶级数在一点收敛的充分条件 97

2.傅里叶级数一致收敛的条件 104

2.费耶尔(Fejér)定理 107

1.费耶尔定理 107

2.三角函数系的完备性.维尔斯特拉斯定理 110

3.空间 L1中的费耶尔定理 111

3.傅里叶积分 112

1.基本定理 112

2.复形式的傅里叶积分 115

4.傅里叶变换，它的性质与应用 115

1.傅里叶变换与反演公式 115

2.傅里叶变换的基本性质 120

3.埃尔米特函数与拉盖尔函数的完备性 123

4.快速下降无穷次可微函数的傅里叶变换 124

5.傅里叶变换与函数的卷积 125

6.用傅里叶变换解热传导方程 126

7.多元函数的傅里叶变换 128

5.空间 L2(-∞，∞)中的傅里叶变换 131

1.布兰舍列尔(Planchler)定理 131

2.埃尔米特函数 135

6.拉普拉斯(Laplace)变换 138

1.拉普拉斯变换的定义与基本性质 138

2.拉普拉斯变换对解微分方程的应用(算子法) 140

7.傅里叶-斯蒂尔吉斯变换 142

1.傅里叶-斯蒂尔吉斯变换的定义 142

2.傅里叶-斯蒂尔吉斯变换在概率论中的应用 144

8.广义函数的傅里叶变换 146

第九章 线性积分方程 150

1.基本定义.导致积分方程的某些问题 150

1.积分方程的类型 150

2.导致积分方程的问题的一些例子 151

2.弗雷德霍姆积分方程 154

1.弗雷德霍姆积分算子 154

2.含对称核的方程 158

3.弗雷德霍姆定理.退化核情形 160

4.含任意核的方程的弗雷德霍姆定理 162

5.伏尔泰拉方程 168

6.第一类积分方程 168

3.含参数的积分方程.弗雷德霍姆法 169

1.H 里紧算子的谱 169

2.以λ的幂级数形式求解.弗雷德霍姆行列式 171

第十章 线性空间微分学概要 176

1.线性空间中的微分法 176

1.强微分(弗里歇(Fréchet)微分) 176

2.弱微分(嘎多(Gateaux)微分) 178

3.有限增量公式 179

4.弱可微性与强可微性之间的关系 180

5.可微分泛函 181

6.抽象函数 182

7.积分 182

8.高阶导数 185

9.高阶微分 188

10.泰勒(Taylor)公式 188

2.隐函数定理及其某些应用 189

1.隐函数定理 189

2.微分方程解对初始数据的依赖性定理 193

3.切流形.刘斯切尔尼克(Люстерник)定理 194

3.极值问题 198

1.极值的必要条件 198

2.二阶微分.泛函极值的充分条件 202

3.有约束的极值问题 204

4.牛顿(Newton)法 207

附录 巴拿赫代数 212

1.巴拿赫代数的定义与一些例子 212

1.巴拿赫代数，巴拿赫代数的同构 212

2.巴拿赫代数的一些例子 214

3.极大理想 216

2.谱和预解式 218

1.定义与例子 218

2.谱的性质 219

3.谱半径定理 222

3.几个辅助结果 223

1.商代数定理 223

2.三个引理 224

4.基本定理 225

1.线性连续可乘泛函与极大理想 225

2.集M中的拓扑.基本定理 228

3.维纳(Wiener)定理；习题 231

文献 237

各章的有关文献 241

索引 242