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第八章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 向量及其线性运算 1

1.1 空间直角坐标系 1

1.2 向量及其坐标表示 4

1.3 向量的方向余弦 7

1.4 向量的线性运算 8

习题8.1 13

第二节 向量的点积与叉积 14

2.1 两个向量的点积 14

2.2 点积的性质 15

2.3 R3中两个向量的叉积 17

2.4 向量的混合积 21

习题8.2 22

第三节 直线与平面 23

3.1 R2中的直线 23

3.2 R3中的平面 24

3.3 R3中的直线 27

习题8.3 30

第四节 直线与平面的位置关系 31

4.1 两直线的夹角 31

4.2 两平面的夹角 32

4.3 直线与平面的夹角 33

4.4 点到平面的距离 34

4.5 平面束 36

习题8.4 37

第五节 曲面 39

5.1 曲面及其方程 39

5.2 柱面 40

5.3 球面 41

5.4 椭球面 41

5.5 旋转曲面 42

5.6 其它曲面的例子 44

习题8.5 45

第六节 曲线 47

6.1 平面曲线 47

6.2 空间曲线 47

6.3 空间曲线的投影柱面和投影曲线 49

习题8.6 50

总习题(八) 51

第九章 多元函数微分学 54

第一节 n维欧氏空间中的点集拓扑初步 54

1.1 n维欧氏空间Rn 54

1.2 邻域 56

1.3 内点、外点、边界点、聚点 57

1.4 开集 59

1.5 闭集 59

习题9.1 60

1.6 区域 60

第二节 多元函数的基本概念 61

2.1 二元函数 61

2.2 等高线和等位面 63

2.3 极限与连续 66

习题9.2 70

第三节 偏导数与全微分 72

3.1 偏导数 72

3.2 全微分 75

3.3 连续性与可微性，偏导数与可微性 78

习题9.3 83

第四节 复合函数的求导法则 86

4.1 z=f(x，y)，x=g(t)，y=h(t)的情形 86

4.2 z=f(x，y)，x=g(u，v)，y=h(u，v)的情形 87

4.3 链式法则在经济学中的一个应用 89

4.4 一阶全微分形式的不变性 90

4.5 高阶偏导数和高阶全微分 92

4.6 偏导数计算在偏微分方程中的应用 95

习题9.4 100

第五节 方向导数与梯度 102

5.1 方向导数 102

5.2 梯度 105

习题9.5 109

第六节 隐函数微分法 111

6.1 一个方程的情形 111

6.2 方程组的情形 114

6.3 隐函数存在定理 116

习题9.6 119

第七节 泰勒多项式 120

习题9.7 123

第八节 向量值函数的导数 123

8.1 向量值函数的概念 123

8.2 向量值函数的极限与连续性 125

8.3 向量值函数的导数 127

习题9.8 131

总习题(九) 131

第十章 多元函数微分学的应用 135

第一节 无约束最优化问题 135

1.1 多元函数的极值概念 135

1.2 极值的必要条件 136

1.3 极值的充分条件 138

1.4 最大(小)值的求法 140

1.5 最大利润问题 141

1.6 最小二乘法 142

习题10.1 144

第二节 约束最优化问题 146

2.1 拉格朗日乘数 146

2.2 拉格朗日乘数法 148

习题10.2 151

第三节 偏导数在几何上的应用 153

3.1 空间曲线的切线与法平面 153

3.2 曲面的切平面与法线 157

习题10.3 162

总习题(十) 164

第十一章 重积分 168

第一节 二重积分的概念 168

1.1 曲顶柱体的体积 168

1.2 平面区域内昆虫群体的总量 170

1.3 二重积分的定义 170

1.4 二重积分的性质 172

习题11.1 173

第二节 二重积分的计算 174

2.1 矩形区域上的二重积分 174

2.2 一般区域上的二重积分 176

2.3 利用极坐标计算二重积分 181

2.4 二重积分的一般换元法 185

习题11.2 188

第三节 广义二重积分 190

习题11.3 192

第四节 三重积分的概念和计算 193

4.1 三重积分的概念 193

4.2 利用直角坐标系计算三重积分 194

4.3 利用柱坐标系计算三重积分 198

4.4 利用球坐标系计算三重积分 202

习题11.4 205

第五节 重积分的应用 207

5.1 体积 207

5.2 物体的质心 208

5.3 转动惯量 210

5.4 引力 211

习题11.5 213

总习题(十一) 214

第十二章 曲线积分与曲面积分 218

第一节 第一类曲线积分 218

习题12.1 222

第二节 第二类曲线积分 223

2.1 第二类曲线积分的概念和性质 223

2.2 第二类曲线积分的计算 225

2.3 第二类曲线积分的几个等价形式 226

习题12.2 232

第三节 第一类曲面积分 233

3.1 曲面面积 233

3.2 第一类曲面积分的概念和性质 236

3.3 第一类曲面积分的计算 237

习题12.3 240

4.1 第二类曲面积分的概念 241

第四节 第二类曲面积分 241

4.2 第二类曲面积分的几个等价形式 243

4.3 第二类曲面积分的计算 244

习题12.4 248

总习题(十二) 249

第十三章 场论基本公式 251

第一节 格林公式及其应用 252

1.1 平面闭曲线的定向 252

1.2 格林公式 253

1.3 格林公式的应用 257

习题13.1 261

第二节 保守场与势函数 262

2.1 保守场与势函数的概念 263

2.2 保守场的性质 264

2.3 保守场的判别法 268

2.4 全微分方程及势函数的求法 270

习题13.2 274

3.1 向量场的散度 276

第三节 散度和高斯公式 276

3.2 散度的计算 277

3.3 高斯公式 279

习题13.3 283

第四节 旋度与斯托克斯公式 284

4.1 向量场的旋度 284

4.2 斯托克斯公式 286

4.3 旋度的计算 289

习题13.4 292

第五节 ？算子 293

5.1 ？算子的运算规则 293

5.2 几个基本公式 294

5.3 例子 295

习题13.5 296

6.1 向量的外积 297

第六节 向量的外积与外微分形式 297

6.2 外微分形式及外微分 299

6.3 场论基本公式的统一形式 302

习题13.6 304

总习题(十三) 304

第十四章 数项级数 307

第一节 再谈数列极限 307

1.1 基本概念 307

1.2 数列极限与函数极限的关系 308

1.3 单调有界收敛定理 310

1.4 致密性定理与柯西准则 313

习题14.1 317

第二节 数项级数的收敛与发散 318

2.1 基本概念 318

2.2 收敛级数的基本性质 323

习题14.2 325

第三节 正项级数 326

3.1 有界性准则 326

3.2 比较判别法 327

3.3 比值判别法和根值判别法 332

3.4 积分判别法 336

习题14.3 337

第四节 任意项级数 339

4.1 交错级数收敛判别法 339

4.2 绝对收敛与条件收敛 341

4.3 绝对收敛级数的性质 343

习题14.4 347

总习题(十四) 348

第十五章 函数项级数 351

第一节 函数项级数的基本概念 351

1.1 函数列和函数项级数 351

1.2 收敛域 352

1.3 几个基本问题 353

1.4 一致收敛的概念 355

1.5 一致收敛级数的性质 358

习题15.1 360

第二节 幂级数及其收敛性 361

2.1 幂级数的收敛半径与收敛区间 361

2.2 收敛半径的求法 365

习题15.2 368

第三节 幂级数及其收敛性 369

习题15.3 375

第四节 泰勒级数 375

4.1 基本定理 375

4.2 几个基本初等函数的泰勒级数 378

4.3 应用基本展开式的例子 382

4.4 微分方程的幂级数解法 384

习题15.4 386

第五节 周期函数的傅立叶级数 387

5.1 基本三角函数系 388

5.2 傅立叶系数 390

5.3 收敛定理 391

5.4 例子 392

5.5 正弦级数和余弦级数 394

习题15.5 397

第六节 任意区间上的傅立叶级数 398

6.1 区间［-π，π］上的傅立叶级数 398

6.2 区间［-l，l］上的傅立叶级数 401

习题15.6 404

第七节 傅立叶级数的复数形式 405

习题15.7 408

总习题(十五) 409

第一节 含参变量的常义积分 412

第十六章 含参变量的积分 412

习题16.1 416

第二节 广义积分收敛性判别法 417

2.1 无穷积分收敛性判别法 417

2.2 无界函数的广义积分收敛性判别法 420

习题16.2 422

第三节 含参变量的广义积分 423

3.1 一致收敛性 423

3.2 含参变量广义积分的性质 424

习题16.3 426

总习题(十六) 426

数学实验 428

实验三 多元函数的偏导数与图形 428

实验四 多元函数极值 430

实验五 幂级数的应用 431

习题答案与提示 435

参考书目 465