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引言 1

集 1

函数 3

反函数 4

关于实数的用法 5

不等式 5

Kroneckerδ 6

第一章 处理线性问题的抽象方法 7

1.0 导言 7

1.1 抽象线性空间 8

1.2 线性空间的例子 14

1.3 线性算子 18

1.4 有限维空间内的线性算子 22

1.5 线性算子的其他例子 27

1.6 线性泛函 36

1.61 有限维空间内的线性泛函 40

1.7 Zorn引理 42

1.71 线性算子的扩张定理 43

1.72 Hamel基 47

1.8 线性算子的转置 50

1.9 零化子 52

1.91 值域和零流形 56

1.92 结论 58

第二章 拓扑 61

2.0 本章内容 61

2.1 拓扑空间 61

2.11 相对拓扑 65

2.12 连续函数 66

2.2 紧集 67

2.21 范畴·可分性 69

2.3 分离公理·Hausdorff空间 70

2.31 局部紧空间 73

2.4 度量空间 74

2.41 守备性 81

2.5 乘积空间 87

第三章 拓扑线性空间 90

3.0 导言 90

3.1 赋范线性空间 91

3.11 赋范线性空间的例子 96

3.12 有限维赋范线性空间 105

3.13 Banach空间 109

3.14 商空间 116

3.2 内积空间 119

3.21 Hilbert空间 133

3.22 某些标准正交集的完全性 136

3.3 拓扑线性空间 138

3.4 凸集 147

3.41 Minkowski泛函 152

3.5 线性簇 155

3.6 凸集和超平面 159

3.7 拟范数 162

3.8 局部凸空间 165

3.81 线性空间的弱拓扑·对偶性 172

3.9 度量线性空间 175

第四章 线性算子的一般理论 181

4.0 导言 181

4.1 线性算子空间 182

4.11 第二类积分方程·Neumann展开式 187

4.12 ？2核 191

4.13 微分方程和积分方程 193

4.2 闭线性算子 197

4.3 赋范线性空间的赋范共轭 209

4.31 第二赋范共轭空间 216

4.32 线性泛函的某些表示 218

4.4 一致有界原理 228

4.41 弱收敛 237

4.42 向量值解析函数的应用 239

4.5 有界线性算子的共轭 243

4.51 有界线性算子的某些表示 245

4.52 M.Riesz凸性定理 252

4.6 零化子，值域，零流形 256

4.61 赋范线性空间内的弱紧性 260

4.62 共轭空间的饱和子空间 264

4.7 关于连续逆的定理 266

4.71 算子及其共轭的态 269

4.8 射影 274

4.81 Hilbert空间上的连续线性泛函 278

4.82 正交补 281

4.83 Dirichlet原理 282

4.9 伴随算子 285

5.0 导言 289

第五章 线性算子的谱分析 289

5.1 预解算子 291

5.2 有界线性算子的谱 297

5.3 谱分类 302

5.4 可约性 307

5.41 算子的升标与降标 310

5.5 紧算子 314

5.6 算子演算 329

5.7 谱集与射影 343

5.71 谱映射定理 347

5.8 谱的孤立点 351

5.9 具有有理预解式的算子 361

第六章 Hilbert空间内的谱分析 370

6.0 导言 370

6.1 双线性型和二次型 370

6.11 对称算子 373

6.12 Schur的一个定理 377

6.2 正规算子和自伴算子 379

6.3 正交射影 384

6.4 紧对称算子 386

6.41 具有紧预解式的对称算子 395

6.5 有界自伴算子的谱定理 398

6.6 酉算子 411

6.7 无界自伴算子 417

第七章 积分与线性泛函 421

7.0 概述 421

7.1 空间L(μ) 422

7.2 广义测度与复测度 430

7.21 Radon--Nikodym定理 433

7.3 实空间(Lp(μ) 433

7.4 Lp上的连续线性泛函 440

7.5 在局部紧Hausdorff空间内的测度 444

7.41 复Lp空间 444

7.51 广义的和复的Borel测度 448

7.6 向量格 450

7.7 在C∞(T)上的线性泛函 452

7.8 有限可加集函数 462

7.9 关于负荷的Lebesgue积分 466

参考文献 469

附录 Banach代数(第二版增加的内容) 481

1.Banach代数的例子 481

2.Banach代数的谱理论 488

3.理想与同态 496

4.变换Banach代数 502

5.Gelfand理论的应用与推广 516

6.B 一代数 529

7.正规算子的谱定理 535

参考文献 552