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第一章 度量空间 1

1.1 度量空间 3

1.2 度量空间进一步的例子 9

1.3 开集，闭集，邻域 16

1.4 收敛，Cauchy 序列，完备性 23

1.5 例·完备性的证明 30

1.6 度量空间的完备化 38

第二章 赋范空间·Banach 空间 45

2.1 向量空间 46

2.2 赋范空间·Banach 空间 54

2.3 赋范空间的进一步性质 62

2.4 有限维赋范空间及子空间 67

2.5 紧性和有限维 72

2.6 线性算子 77

2.7 有界线性算子与连续线性算子 85

2.8 线性泛函 97

2.9 有限维空间上的线性算子与泛函 109

2.10 算子的赋范空间、对偶空间 110

第三章 内积空间·Hilbert 空间 119

3.1 内积空间·Hilbert 空间 120

3.2 内积空间的进一步性质 127

3.3 正交补与直接和 135

3.4 规格正交集与规格正交序列 142

3.5 关于规格正交序列与规格正交集的级数 150

3.6 完全规格正交集与序列 157

3.7 Legendre 多项式， Hermite 多项式和 Laguerre 多项式 166

3.8 Hilbert 空间上的泛函的表示 178

3.9 Hilbert 伴随算子 184

3.10 自伴算子，酉算子和正规算子 190

第四章 赋范空间和 Banach 空间的基本定理 197

4.1 Zorn 引理 198

4.2 Hahn-Banach 定理 201

4.3 复向量空间和赋范空间上的 Hahn-Banach 定理 207

4.4 对C[a,b]上的有界线性泛函的应用 212

4.5 伴随算子 218

4.6 自反空间 226

4.7 纲定理·一致有界定理 233

4.8 强收敛和弱收敛 244

4.9 算子序列和泛函序列的收敛性 250

4.10 对序列的可和性的应用 257

4.11 数值积分和弱收敛 263

4.12 开映象定理 272

4.13 闭线性算子·闭图象定理 279

第五章 进一步的应用：Banach 不动点定理 285

5.1 Banach 不动点定理 286

5.2 Banach 定理对线性方程的应用 292

5.3 Banach 定理对微分方程的应用 299

5.4 Banach 定理对积分方程的应用 303

第六章 进一步的应用：逼近理论 311

6.1 赋范空间中的逼近 312

6.2 唯一性，严格凸性 314

6.3 一致逼近 320

6.4 Chebyshev 多项式 328

6.5 Hilbert 空间中的逼近 335

6.6 样条函数 339

第七章 赋范空间中线性算子的谱理论 344

7.1 有限维赋范空间中的谱理论 345

7.2 基本概念 350

7.3 有界线性算子的谱性质 355

7.4 豫解式和谱的进一步性质 359

7.5 复分析在谱理论中的应用 365

7.6 Banach 代数 373

7.7 Banach 代数的进一步的性质 377

第八章 赋范空间上的紧线性算子及其谱 383

8.1 赋范空间上的紧线性算子 384

8.2 紧线性算子的进一步的性质 390

8.3 赋范空间上紧线性算子的谱性质 397

8.4 紧线性算子的进一步的谱性质 405

8.5 含紧线性算子的算子方程 413

8.6 进一步的 Fredholm 型定理 420

8.7 Fredholm 择一律(或择一定理) 428

第九章 有界自伴线性算子的谱理论 436

9.1 有界自伴线性算子的谱性质 437

9.2 有界自伴线性算子谱的进一步性质 441

9.3 正算子 446

9.4 正算子的平方根 451

9.5 投影算子 455

9.6 投影的进一步性质 461

9.7 谱族 467

9.8 有界自伴线性算子的谱族 472

9.9 有界自伴线性算子的谱表示 479

9.10 谱定理对连续函数的扩张 486

9.11 有界自伴线性算子谱族的性质 490

第十章 Hilbert 空间中的无界线性算子 496

10.1 无界线性算子及其 Hilber 随算子 497

10.2 Hilbert 伴随算子，对称和自伴线性算子 503

10.3 闭线性算子和闭包 508

10.4 自伴线性算子的谱的性质 513

10.5 酉算子的谱表示 518

10.6 自伴线性算子的谱表示 526

10.7 乘法算子和微分算子 532

第十一章 量子力学中的无界线性算子 539

11.1 基本思想，状态，可观测量，位置算子 540

11.2 动量算子 Heisenberg 测不准原则 544

11.3 与时间无关的 Schr?dinger 方程 550

11.4 Hamihon 算子 556

11.5 与时间有关的 Schr?dinger 方程 563

附录一 复习和参考资料 572

A1.1 集合 572

A1.2 映象 575

A1.3 族 579

A1.4 等价关系 580

A1.5 紧性 581

A1.6 上确界和下确界 582

A1.7 Cauchy 收敛准则 583

A1.8 群 584

附录二 奇数题号习题答案 586

附录三 参考文献 636

名词索引 645