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第一章 波动方程 3

1.方程的导出.定解条件 3

1.弦振动方程的导出 3

2.定解条件 7

3.定解问题适定性概念 9

习题 11

2.达朗贝尔(d’Alembert)公式.波的传播 12

1.迭加原理 12

2.弦振动方程的达朗贝尔解法 13

3.传播波 16

4.影响区域、依赖区域和决定区域 17

5.齐次化原理 19

习题 23

3.混合问题的分离变量法 24

1.引言 24

2.分离变量法 26

3.解的存在性 30

4.非齐次方程的情形 33

5.非齐次边界条件的情形 34

习题 35

1.膜振动方程的导出 36

4.高维波动方程的柯西问题 36

2.定解条件的提法 40

3.三维波动方程柯西问题的解 41

4.降维法 46

5.依赖区域，决定区域和影响区域 48

6.惠更斯(Huygens)原理，波的弥散 50

7.非齐次波动方程柯西问题的解.推迟势 52

习题 54

5.能量不等式.波动方程解的唯一性和稳定性 55

1.振动的动能和位能 55

2.混合问题解的唯一性与稳定性 57

3.柯西问题解的唯一性与稳定性 61

4.波动方程的广义解 65

习题 68

第二章 热传导方程 69

1.热传导方程及其定解问题的提出 69

1.热传导方程的导出 69

2.定解问题的提法 71

3.扩散方程 73

习题 75

2.混合问题的分离变量法 76

1.一个空间变量的情形 76

2.圆形区域上的热传导问题 77

习题 79

3.柯西问题 80

1.富里埃变换及其基本性质 80

2.热传导方程柯西问题的求解 84

3.解的存在性 85

习题 87

4.极值原理.定解问题的解的唯一性和稳定性 89

1.极值原理 89

2.混合问题解的唯一性与稳定性 90

3.柯西问题解的唯一性和稳定性 91

习题 93

第三章 调和方程 94

1.建立方程.定解条件 94

习题 98

2.格林公式及其应用 99

1.格林(Green)公式 99

2.平均值定理 103

3.极值原理 104

4.第一边值问题的唯一性及稳定性 105

5.共轭微分算子与共轭边值问题 107

3.格林函数 109

1.格林函数及其性质 109

习题 109

2.静电源象法 113

3.解的验证 118

4.单连区域的格林函数 120

5.调和函数的基本性质 121

习题 124

4.强极值原理.第二边值问题的唯一性 126

1.强极值原理 126

2.第二边值问题的唯一性 129

习题 131

1.两个自变量的方程 133

1.二阶方程的分类 133

第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结 133

2.两个自变量的二阶方程的化简 134

3.方程的分类 138

4.举例 140

5.多个自变量的方程的分类 141

习题 143

2.二阶方程的特征理论 144

1.特征概念 144

2.特征方程 146

3.举例 148

习题 150

1.线性方程和迭加原理 151

3.三类方程的比较 151

2.解的性质的比较 153

3.定解问题提法的比较 157

习题 162

第五章 一阶偏微分方程组.特征理论 163

1.引言 163

1.一阶偏微分方程组的例子 163

2.与高阶方程组的关系 166

习题 172

1.特征方向.特征线 173

2.两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 173

2.两个自变量一阶偏微分方程组的分类 175

3.狭义双曲型化为对角型 176

习题 180

3.两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 182

1.存在性与唯一性 182

2.对初始条件的连续依赖性 187

3.依赖区域、决定区域、影响区域 188

4.关于柯西问题提法的正确性的附注 190

习题 191

4.两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 192

1.广义柯西问题 193

2.古尔沙问题 194

5.两个自变量的一阶拟线性偏微分方程组 196

习题 196

1.特征理论 197

2.狭义双曲型方程组的化简 199

3.拟线性方程组的局部可解性 201

习题 202

6.幂级数解法.柯西-柯娃律夫斯卡娅定理 204

1.幂级数解法 204

2.柯西-柯娃律夫斯卡娅定理 207

习题 213

1.广义函数的概念 216

第六章 广义函数与基本解 216

1.广义函数概念与基本空间 216

2.基本空间C∞(Rn)，C∞c(Rn) 220

3.基本空间？(Rn) 222

4.？(Rn)，?1(Rn)，?1(Rn)广义函数 224

习题 227

2.广义函数的性质与运算 228

1.广义函数的极限 228

2.广义函数的导数 230

3.广义函数的乘子 231

4.广义函数的卷积 232

习题 236

3.广义函数的富里埃变换 237

1.?(Rn)上的富里埃变换 237

2.?(Rn)上的富里埃变换 240

习题 243

4.基本解 244

1.基本解的概念 244

2.热传导方程的基本解 245

3.椭圆型方程的基本解 246

4.柯西问题的基本解 249

5.基本解的物理意义 253

6.其他类型的基本解 255

习题 256

第七章 差分法 257

1.调和方程第一边值问题的五点差分格式 257

1.基本概念 257

2.五点格式 260

3.差分方程的求解 263

4.差分格式的收敛性 267

5.第三类边界条件的处理 268

习题 270

2.热传导方程的差分格式 271

1.显式差分格式的建立 271

2.差分格式的收敛性 273

3.显式格式I的稳定性 275

4.隐式格式II及其稳定性 282

习题 287

3.波动方程和双曲型方程组的差分法 288

1.一维波动方程混合问题的差分格式 288

2.C.F.L.条件(Courant-Friedrichs-Lewy条件) 289

3.拟线性双曲型方程组的差分法 291

习题 294

第八章 有限元素法 296

1.变分原理 296

习题 302

1.网格的划分 303

2.有限元素法计算格式的形成 303

2.列出计算格式 304

3.解法 310

习题 310

3.有限元素法与差分法的比较 310

1.模型问题举例 310

2.两种方法的比较 318

习题 319

附录Ⅰ 变分问题广义解的存在性以及有限元素法的收敛性 321

附录Ⅱ 特殊函数 330

附录Ⅲ 富里埃变换表 342