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第一章 素数定理的历史 1

1 符号0及？ 1

2 素数定理的历史 6

3 数论函数［x］ 21

第一章习题 23

第二章 ЧЕБЫЩЕВ不等式 26

1 素数有无穷多个 26

2 算术基本定理 31

3 几乎所有的自然数都不是素数 35

4 Чебыщев不等式 37

5 Чебыщев函数θ(x)和Ψ(x) 41

6 M？bius变换 44

7 Ψ(x)的基本性质 47

8 Чебыщев不等式的另一证明 50

第二章习题 51

第三章 MERTENS定理 59

1 Abel恒等式及其应用 59

2 Mertens定理 65

3 Чебыщев定理 70

4 实变量的ζ函数 71

5 常数的确定 76

第三章习题 77

第四章 素数定理的等价命题 80

1 命题(A)与素数定理等价 80

2 命题(A)与命题(B)等价 84

3 命题(C)与素数定理等价 86

第四章习题 87

第五章 第一个证明 89

1 证明的想法 89

2 Selberg不等式 91

3 问题的转化 96

4 定理的证明 102

第五章习题 106

第六章 第二个证明 109

1 证明的途径 109

2 余项a(x)的初步讨论 111

3 b(x)及h(x)的Selberg型不等式 114

4 b(x)和h(x)之间的关系 120

5 b(x)的进一步讨论 122

6 h(x)的估计 131

7 1定理2的证明 134

第六章习题 136

第七章 第三个证明(简介) 137

1 Dirichlet卷积 138

2 广义Dirichlet卷积 148

3 映射类？h,n 155

4 Tf的计算 161

5 Sf的计算与映射类？h,n 178

6 一般的Selberg不等式 182

7 证明概述 187

第七章习题 188

第八章 RIEMANN ZETA函数 191

1 定义与基本性质 191

2 解析开拓 197

3 ζ(1+it)≠0 199

4 在直线σ=1附近的估计 200

第八章习题 206

第九章 几个TAUBER型定理 212

1 两个最简单的定理 212

2 Hardy-Littlewood定理 214

3 关于权函数kλ(x)的Tauber型定理 217

4 Ikehara定理 220

5 素数定理的等价命题 226

第九章习题 227

第十章 第四个证明 230

1 第四个证明 230

2 素数定理成立的必要条件 232

第十章习题 234

第十一章 第五个证明 235

1 两个复变积分 235

2 两个关系式 238

3 Fourier变换 242

4 第五个证明 246

5 余项估计 247

第十一章习题 248

第十二章 第六个证明 250

1 Mellin变换 250

2 第六个证明 252

第十二章习题 255

第十三章 ？空间中的Fourier变换 257

1 基本性质 257

2 反转公式 261

3 卷积及其Fourier变换 266

4 Fourier变换空间F 268

第十四章 WIENER定理与第七个证明 275

1 Wiener定理 275

2 第七个证明 278

第十四章习题 283

第十五章 素数定理的一个推广 284