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第一篇 高等数学 1

第一章 极限、连续与求极限的方法 1

知识结构网络图 1

内容概要与重难点提示 1

考核知识要点讲解 2

一、极限的概念与性质 2

二、极限存在性的判别 4

三、求极限的方法 6

四、无穷小及其比较 14

五、函数的连续性及其判断 16

六、连续函数的性质 18

常考题型及其解题方法与技巧 19

第二章 一元函数的导数与微分概念及其计算 32

知识结构网络图 32

内容概要与重难点提示 32

考核知识要点讲解 33

一、一元函数的导数与微分 33

二、按定义求导数及其适用的情形 36

三、基本初等函数导数表，导数四则运算法则与复合函数微分法则 38

四、初等函数的求导法 39

五、复合函数求导法的应用——由复合函数求导法则导出的几类函数的微分法 40

六、分段函数的求导法 43

七、高阶导数及n阶导数的求法 45

八、一元函数微分学的简单应用 47

常考题型及其解题方法与技巧 48

第三章 一元函数积分概念、计算及应用 58

知识结构网络图 58

内容概要与重难点提示 59

考核知识要点讲解 59

一、一元函数积分的概念、性质与基本定理 59

二、基本积分表与积分法则 66

三、几种特殊类型函数的积分法 76

四、积分计算技巧 80

五、反常积分（广义积分） 81

六、积分学应用的基本方法——微元分析法 84

七、一元函数积分学的几何应用 85

八、一元函数积分学的物理应用 90

常考题型及其解题方法与技巧 93

第四章 微分中值定理及其应用 116

知识结构网络图 116

内容概要与重难点提示 116

考核知识要点讲解 117

一、微分中值定理及其作用 117

二、利用导数研究函数的性态 118

三、一元函数的最大值与最小值问题 124

常考题型及其解题方法与技巧 126

第五章 一元函数的泰勒公式及其应用 147

知识结构网络图 147

内容概要与重难点提示 147

考核知识要点讲解 147

一、带皮亚诺余项与拉格朗日余项的n阶泰勒公式 147

二、泰勒公式的求法 149

三、泰勒公式的若十应用 150

常考题型及其解题方法与技巧 154

第六章 常微分方程 158

知识结构网络图 158

内容概要与重难点提示 158

考核知识要点讲解 159

一、基本概念 159

二、一阶微分方程 160

三、可降阶的高阶方程 162

四、含变限积分的方程 163

五、线性微分方程解的性质与结构 164

六、二阶和某些高阶常系数齐次线性微分方程 165

七、二阶常系数非齐次线性微分方程与欧拉方程 166

八、微分方程的简单应用 167

常考题型及其解题方法与技巧 171

第七章 向量代数和空间解析几何 179

知识结构网络图 179

内容概要与重难点提示 179

考核知识要点讲解 180

一、空间直角坐标系 180

二、向量的概念 180

三、向量的运算 181

四、平面方程、直线方程 184

五、平面、直线之间相互关系与距离公式 186

六、旋转面与柱面方程，常用二次曲面的方程及其图形 188

七、空间曲线在坐标平面上的投影 189

常考题型及其解题方法与技巧 189

第八章 多元函数微分学 197

知识结构网络图 197

内容概要与重难点提示 197

考核知识要点讲解 198

一、多元函数的概念、极限与连续性 198

二、多元函数的偏导数与全微分 200

三、多元函数的微分法则 204

四、复合函数求导法的应用——隐函数微分法 207

五、复合函数求导法则的其他应用 210

六、多元函数的极值问题 211

七、多元函数的最大值与最小值问题 213

八、方向导数与梯度 215

九、多元函数微分学的几何应用 216

常考题型及其解题方法与技巧 219

第九章 多元函数积分的概念、计算及其应用 229

知识结构网络图 229

内容概要与重难点提示 229

考核知识要点讲解 230

一、多元函数积分的概念与性质 230

二、在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分 234

三、重积分的变量替换 240

四、如何应用多元函数积分的计算公式及简化计算 245

五、多元函数积分学的几何应用 255

六、多元函数积分学的物理应用 258

常考题型及其解题方法与技巧 260

第十章 多元函数积分学中的基本公式及其应用 285

知识结构网络图 285

内容概要与重难点提示 285

考核知识要点讲解 286

一、多元函数积分学中的基本公式——格林公式，高斯公式与斯托克斯公式 286

二、向量场的通量与散度，环流量与旋度 288

三、格林公式，高斯公式与斯托克斯公式的一个应用——简化多元函数积分的计算 289

四、平面上曲线积分与路径无关问题及微分式的原函数问题 295

常考题型及其解题方法与技巧 300

第十一章 无穷级数 310

知识结构网络图 310

内容概要与重难点提示 310

考核知识要点讲解 311

一、常数项级数 311

二、幂级数 316

三、傅里叶级数 321

常考题型及其解题方法与技巧 323

第二篇 线性代数 343

第一章 行列式 343

知识结构网络图 343

内容概要与重难点提示 343

考核知识要点讲解 343

一、定义（完全展开式） 344

二、行列式的性质 344

三、克拉默法则 345

常考题型及其解题方法与技巧 345

第二章 矩阵 356

知识结构网络图 356

内容概要与重难点提示 356

考核知识要点讲解 357

一、矩阵乘法的定义和规律 357

二、n阶矩阵的方幂和多项式 358

三、乘积矩阵的列向量组和行向量组 358

四、两类特殊矩阵的乘法 359

五、矩阵乘法的分块法则 359

六、两种基本矩阵方程 359

七、可逆矩阵 360

八、伴随矩阵 361

常考题型及其解题方法与技巧 361

第三章 向量组的线性关系与秩 378

知识结构网络图 378

内容概要与重难点提示 379

考核知识要点讲解 379

一、线性表示 379

二、向量组的线性相关性 380

三、向量组的秩和最大无关组 381

四、矩阵的秩 383

五、实向量的内积和正交矩阵 383

六、向量空间 384

常考题型及其解题方法与技巧 385

第四章 线性方程组 404

知识结构网络图 404

内容概要与重难点提示 404

考核知识要点讲解 405

一、线性方程组的形式 405

二、线性方程组解的情况的判别 405

三、线性方程组的通解 405

常考题型及其解题方法与技巧 406

第五章 特征向量与特征值，相似，对角化 429

知识结构网络图 429

内容概要与重难点提示 430

考核知识要点讲解 430

一、特征向量和特征值 430

二、n阶矩阵的相似关系 431

三、相似对角化问题 432

四、实对称矩阵的相似对角化 432

常考题型及其解题方法与技巧 433

第六章 二次型 455

知识结构网络图 455

内容概要与重难点提示 455

考核知识要点讲解 456

一、二次型及其矩阵 456

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系 456

三、二次型的标准化 457

四、惯性定理和惯性指数，实对称矩阵合同的判断 459

五、正定二次型和正定矩阵 459

常考题型及其解题方法与技巧 459

第三篇 概率论与数理统计 472

第一章 随机事件和概率 472

知识结构网络图 472

内容概要与重难点提示 472

考核知识要点讲解 473

一、随机事件的关系与运算 473

二、随机事件的概率 475

三、事件的独立性与独立重复试验 479

常考题型及其解题方法与技巧 481

第二章 随机变量及其分布 488

知识结构网络图 488

内容概要与重难点提示 488

考核知识要点讲解 489

一、随机变量及其分布函数 489

二、离散型随机变量与连续型随机变量 490

三、常见的离散型、连续型随机变量及其概率分布 493

四、随机变量函数的分布 497

常考题型及其解题方法与技巧 500

第三章 多维随机变量及其分布 510

知识结构网络图 510

内容概要与重难点提示 510

考核知识要点讲解 511

一、二维随机变量的联合分布函数与边缘分布函数 511

二、二维离散型随机变量 512

三、二维连续型随机变量 514

四、二维随机变量的独立性 517

五、两个常见的二维连续型随机变量的分布 518

六、两个随机变量函数的分布 520

常考题型及其解题方法与技巧 526

第四章 随机变量的数字特征 536

知识结构网络图 536

内容概要与重难点提示 536

考核知识要点讲解 536

一、随机变量的数学期望和方差 536

二、协方差与相关系数 540

三、随机变量的矩 542

常考题型及其解题方法与技巧 543

第五章 大数定律和中心极限定理 554

知识结构网络图 554

内容概要与重难点提示 554

考核知识要点讲解 554

一、大数定律 554

二、中心极限定理 556

常考题型及其解题方法与技巧 556

第六章 数理统计的基本概念 561

知识结构网络图 561

内容概要与重难点提示 561

考核知识要点讲解 561

一、总体与样本 561

二、统计量 563

三、抽样分布 563

常考题型及其解题方法与技巧 567

第七章 参数估计和假设检验 571

知识结构网络图 571

内容概要与重难点提示 571

考核知识要点讲解 572

一、参数估计 572

二、假设检验 576

常考题型及其解题方法与技巧 578