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射影几何学 1

第一章 仿射几何学的基本概念 1

1.1 平行射影与仿射对应 1

前言 1

1.2 仿射不变性与不变量 3

1.3 平面到自身的透视仿射 8

1.4 平面内的一般仿射 9

1.5 仿射变换的代数表示 11

习题 13

2.1 中心投影与理想元素 16

第二章 欧氏平面的拓广 16

2.2 齐次坐标 19

2.3 对偶原理 21

2.4 复元素 23

习题 24

第三章 一维射影几何学 27

3.1 平面内的一维基本图形：点列和线束 27

3.2 点列的交比 28

3.3 线束的交比 35

3.4 一维射影对应 37

3.5 透视对应 43

3.6 对合对应 48

习题 54

第四章 代沙格定理、四点形与四线形 58

4.1 代沙格三角形定理 58

4.2 完全四点(角)形与完全四线(边)形 61

4.3 巴卜斯定理 64

习题 65

5.1 一维射影坐标系 67

第五章 射影坐标系和射影变换 67

5.2 平面内的射影坐标系 70

5.3 射影坐标的特例 73

5.4 坐标转换 74

5.5 射影变换 77

5.6 二维射影几何基本定理 79

5.7 射影变换的二重元素(或固定元素) 83

5.8 射影变换的特例 84

5.9 变换群 86

5.10 变换群的例证 88

5.11 变换群与几何学 89

习题 91

6.1 二阶曲线与二级曲线 94

第六章 二次曲线的射影性质 94

6.2 二次曲线的射影定义 97

6.3 巴斯卡与布利安双定理 98

6.4 关于二次曲线的极与极线 101

6.5 配极对应 106

6.6 二次曲线的射影分类 109

6.7 二次曲线束及其在解联立方程方面的应用 114

习题 119

7.1 二次曲线的中心和直径 123

第七章 二次曲线的仿射性质 123

7.2 二次曲线的渐近线 125

7.3 二次曲线的仿射分类 127

7.4 例题 129

第八章 二次曲线的度量性质 132

8.1 圆点 132

8.2 主轴与焦点 136

习题 140

第九章 几何基础简介 143

9.1 几何发展简史 143

几何基础 143

9.2 欧几里得第五公设问题 148

9.2.1 普雷菲公理与第五公设等价 150

9.2.2 萨开里的试证 151

9.2.3 勒戎得的试证 154

9.3 第五公设的等价命题 161

9.4 近代公理法的产生及希尔伯特公理体系 161

9.4.1 接合(结合)公理的推论举例 165

9.4.2 接合(结合)公理和顺序公理的推论举例 166

9.4.3 关于合同公理和连续公理 169

9.5 几何公理体系的三个基本问题 170

9.6 平面射影几何公理体系 173

9.7 罗巴切夫斯基几何 178

9.7.1 罗巴切夫斯基平行线定义 179

9.7.2 平行线的相互性(对称性) 181

9.7.3 平行线的传递性 183

9.7.4 分散直线 184

9.7.5 两平行线的相关位置 188

9.7.6 罗巴切夫斯基函数 π(x) 189

习题 193

参考资料 194