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第一章 函数 1

1.1 变量与函数 1

1.1.1 集合与实数 1

1.1.2 常量与变量 4

1.1.3 函数 5

1.1.4 函数的初等性质 7

1.1.5 函数的一般概念 10

1.2 函数的运算·初等函数 12

1.2.1 函数的四则运算 12

1.2.2 复合函数与反函数 13

1.2.3 初等函数 16

第二章 极限与连续性 21

2.1 数列的极限 21

2.1.1 引例 21

2.1.2 数列概念 23

2.1.3 数列极限的定义 24

2.1.4 数列极限的性质 27

2.1.5 收敛判别法 30

2.1.6 子列·上(下)确界 33

2.2 函数的极限 36

2.2.1 函数极限的定义 36

2.2.2 函数极限的性质 40

2.2.3 两个重要极限 43

2.3 无穷小量与无穷大量 47

2.3.1 无穷小量及其运算 47

2.3.2 无穷小量的比较 49

2.3.3 无穷大量 53

2.4 函数的连续性 56

2.4.1 连续与间断 56

2.4.2 连续函数的运算·初等函数的连续性 59

2.4.3 闭区间上连续函数的性质 62

2.4.4 一致连续性 64

第三章 导数与微分 68

3.1 导数概念 68

3.1.1 切线问题与速度问题 68

3.1.2 导数的定义 69

3.1.3 单侧导数 73

3.2 导数的计算 75

3.2.1 基本求导规则 76

3.2.2 反函数的导数·导数表 79

3.2.3 相关变化率 81

3.3 微分 84

3.3.1 微分概念 84

3.3.2 微分的计算 86

3.3.3 微分的应用 88

3.4.1 隐函数的微分法 90

3.4 隐函数及用参数表示的函数的微分法 90

3.4.2 用参数表示的函数的微分法 93

3.5.1 高阶导数概念 95

3.5 高阶导数 96

3.5.2 高阶导数的计算 96

第四章 微分中值定理·应用 103

4.1 微分中值定理 103

4.1.1 Rolle 定理 103

4.1.2 Lagrange 中值定理 106

4.1.3 Cauchy 中值定理 108

4.2 L′Hospital 法则 110

4.2.1 未定型0/0与∞/∞ 111

4.2.2 其他未定型 114

4.3 Taylor 公式 118

4.3.1 Taylor 定理 118

4.3.2 求 Taylor 公式的例子 121

4.3.3 某些应用 125

4.4 函数的单调性与凸性 129

4.4.1 单调性 129

4.4.2 凸性 131

4.4.3 函数作图 134

4.4.4 曲率 137

4.5 极值问题 141

4.5.1 极值条件 141

4.5.2 最大值与最小值 143

4.5.3 应用问题 145

第五章 不定积分 148

5.1 不定积分概念 148

5.2 基本积分法 151

5.2.1 分项积分法 151

5.2.2 凑微分法 153

5.2.3 换元法 156

5.2.4 分部积分法 160

5.3 几类初等函数的积分 164

5.3.1 有理函数的积分 164

5.3.2 三角函数的积分 167

5.3.3 某些含根式的函数的积分 170

第六章 定积分 175

6.1 定积分的定义与性质 175

6.1.1 面积问题与路程问题 176

6.1.2 定积分的定义 176

6.1.3 定积分的性质 179

6.2 定积分的计算 183

6.2.1 变上限积分 183

6.2.2 Newton-Leibniz 公式 185

6.2.3 换元积分法 188

6.2.4 分部积分法 191

6.3 广义积分 195

6.3.1 定义与性质 195

6.3.2 收敛判别法 199

6.3.3 Euler 积分 201

6.4 定积分的应用 205

6.4.1 微元法 205

6.4.2 几何应用 206

6.4.3 物理应用 211

6.5.1 梯形法 215

6.5 定积分的近似计算 216

6.5.2 抛物线法 217

第七章 无穷级数 220

7.1 数项级数 220

7.1.1 级数的概念与性质 220

7.1.2 正项级数 223

7.1.3 变号级数 229

7.2 函数项级数 235

7.2.1 一致收敛性 235

7.2.2 和函数的分析性质 238

7.3 幂级数 241

7.3.1 收敛区间与收敛半径 241

7.3.2 展开函数为幂级数 245

7.3.3 级数求和 250

7.4 Fourier 级数 255

7.4.1 Fourier 级数及其收敛性 256

7.4.2 展开函数为 Fourier 级数 258

7.4.3 Fourier 级数的其他形式 262

习题答案 270

人名索引 281

名词索引 282