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第一篇 数学物理方程 1

第一章 二阶线性偏微分方程及其分类 1

§1.1 方程的一般概述 1

§1.2 几个问题的提出 2

§1.3 方程的分类 4

习题 14

第二章 波动方程 16

§2.1 定解问题的导出 16

§2.1.1 弦振动方程 16

§2.1.2 膜振动方程 20

§2.1.3 电磁波方程 21

习题 23

§2.2 一维波动方程的柯西问题 24

§2.2.1 无界弦振动的柯西问题的解 25

§2.2.2 解的适定性论证 27

§2.2.3 解的意义 29

§2.2.4 半无界弦与延拓法 33

§2.2.5 非齐次方程的柯西问题 35

习题 39

§2.3 高维波动方程柯西问题 40

§2.3.1 平均值法与泊松公式 41

§2.3.2 二维波动方程柯西问题·降维法 46

§2.3.3 解的物理意义 47

§2.3.4 非齐次波动方程的柯西问题 50

习题 52

第三章 扩散方程·积分变换法 55

§3.1 定解问题的建立 55

§3.1.1 方程的导出 55

§3.1.2 定解条件 59

§3.2.1 傅里叶变换法 60

§3.2 积分变换求解法 60

§3.2.2 拉普拉斯变换法 65

习题 69

第四章 位势方程·格林函数法 72

§4.1 定解问题的提法 72

§4.1.1 方程的导出 72

§4.1.2 边界条件的提法 73

§4.2 基本公式 73

§4.2.1 格林第一、第二公式 73

§4.2.2 调和方程的基本解 76

§4.2.3 基本积分公式 77

习题 81

§4.3 格林函数及其应用 82

§4.3.1 问题的引入 82

§4.3.2 格林函数的性质 85

§4.3.3 格林函数解法的意义 88

§4.3.4 格林函数的物理意义及镜象法 89

§4.3.5 格林函数解法应用 91

§4.4 解的适定性讨论 96

§4.4.1 极值原理 97

§4.4.2 存在性定理 98

§4.4.3 唯一性与稳定性定理 99

习题 100

第五章 δ-函数·基本解·解 102

§5.1 δ-函数 102

§5.1.1 δ-函数的定义 102

§5.1.2 δ-函数的性质 104

§5.1.3 高维δ-函数 108

§5.2 广义函数 108

§5.2.1 泛函的概念 108

§5.2.2 广义函数 109

§5.3 基本解·解 113

§5.3.1 基本解的概念 113

§5.3.2 解的性质 113

§5.3.3 偏微分方程的基本解·解 114

习题 120

第六章 分离变量法·本征值理论 123

§6.1 一维混合问题 123

§6.1.1 齐次波动方程 123

§6.1.2 齐次扩散方程 133

§6.1.3 非齐次问题的处理 135

习题 139

§6.2 高维混合问题 141

§6.2.1 二维问题的解 141

§6.2.2 三维方程的分离变量法 147

§6.3 本征值理论 151

§6.3.1 问题的引入 151

§6.3.2 本征值理论 154

§6.3.3 小结 158

习题 161

§7.1 变分问题 162

§7.1.1 泛函的变分 162

第七章 变分问题和有限元法 162

§7.1.2 泛函的极值 163

§7.1.3 变分法 165

§6.1.4 变分原理 168

§7.2 有限元法 172

§7.2.1 有限元法的基本原理 172

§7.2.2 过程分折 183

§8.1 方程及其常点和奇点 185

第八章 二阶线性常微分方程的级数解 185

第二篇 殊特函数 185

§8.2 方程在其常点邻域内解的性质 186

§8.3 方程在其正则奇点邻域内的解 187

习题 191

第九章 勒让德多项式·球函数 192

§9.1 勒让德多项式 192

§9.1.1 勒让德方程的解 192

习题 193

§9.1.2 勒让德多项式 196

§9.1.3 勒让德多项式的表达式 200

§9.1.4 勒让德多项式的生成函数·递推公式 202

§9.1.5 勒让德方程的本征值问题 208

§9.2.1 问题的引入 217

§9.2 连带勒让德多项式·球函数 217

§9.2.2 几个表达式 220

§9.2.3 球函数 225

习题 229

第十章 贝塞尔函数 233

§10.1 贝塞尔方程的解 233

§10.1.1 方程的级数解 233

§10.1.2 第一类贝塞尔函数 234

§10.1.3 方程的通解·第二类贝塞尔函数 236

§10.2.1 微分关系和递推公式 242

§10.2 贝塞尔函数的性质 242

§10.2.2 半奇阶贝塞尔函数 244

§10.2.3 贝塞尔函数的生成函数 246

§10.2.4 贝塞尔函数的积分表达式 248

§10.2.5 加法公式 250

§10.3 贝塞尔函数的其他类型及渐近公式 253

§10.3.1 汉克尔函数 253

§10.3.2 变态贝塞尔函数 255

§10.3.3 凯尔文函数 261

§10.4.1 贝塞尔函数的零点及其性质 262

§10.4 傅里叶-贝塞尔级数 262

§10.4.2 贝塞尔函数系的正交归一性 264

§10.4.3 完备性 266

§10.4.4 应用问题 267

§10.5 贝塞尔积分 272

§10.5.1 傅里叶-贝塞尔积分 272

§10.5.2 含贝塞尔函数的积分 274

§10.6 球贝塞尔函数 278

§10.6.1 定义及有关表达式 278

§10.6.2 傅里叶-球贝塞尔级数 281

§10.7 可以化为贝塞尔方程的微分方程 284

习题 286

第十一章 埃尔米特多项式和拉盖尔多项式 291

§11.1 埃尔米特多项式 291

§11.1.1 埃尔米特方程及其解 291

§11.1.2 埃尔米特多项式的生成函数及有关表达式 294

§11.1.3 埃尔米特多项式系的正交归一性 296

§11.1.4 应用 298

§11.2 拉盖尔多项式 300

§11.2.1 拉盖尔方程及其解 300

§11.2.2 拉盖尔多项式的生成函数·微分表达式·递推公式 301

§11.2.3 斯图姆-刘维尔本征值问题 303

习题 304

第十二章 超几何函数 305

§12.1 超几何方程和超几何函数 305

§12.1.1 方程及其级数解 305

§12.1.2 超几何函数的性质 310

§12.1.3 某些特殊函数的超几何函数表达式 313

§12.2 合流超几何函数 317

§12.2.1 合流超几何方程及其解 317

§12.2.2 库梅函数的两个性质 319

§12.2.3 几个特殊函数的库梅函数表达式 320

习题 323

附录Ⅰ 正交曲线坐标系 326

附录Ⅱ 积分变换 334

附录Ⅲ Г-函数和B-函数 348

附录Ⅳ 正交多项式 356

附录Ⅴ 椭圆函数简介 364

附录Ⅵ 积分变换表 368

附录ⅦJ0(x)=0的根和J1（x）的对应值表 373

习题答案 374