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第九章 空间解析几何与矢量运算 1

9.1 空间直角坐标系 1

1.空间直角坐标系 1

9.2 向量及其加、减、数乘运算 5

1.向量的概念 5

2.向量的加减法 6

3.向量与数的乘法 7

2.两点间的距离 8

1.向量在轴上的投影 9

9.3 向量的坐标表示 9

2.向量的坐标 11

3.模与方向余弦 14

9.4 向量的数量积、向量积、混合积 16

1.数量积 16

2.向量积 20

3.混合积 24

9.5 平面 29

1.平面方程 29

2.特殊位置的平面方程 31

4.平面的相互位置 34

9.6 直线 37

1.直线的方程 37

3.点到平面的距离 39

2.直线与平面间的关系 40

3.直线间的关系 42

4.距离 43

5.交于一直线的平面束 46

9.7 曲面与曲线 51

1.曲面、曲线的方程 51

2.柱面 53

3.旋转面 55

4.锥面 58

5.曲线和曲面的参数方程 59

9.8 二次曲面 65

1.直角坐标变换 65

2.实二次曲面的标准方程 68

3.图形 70

9.9 向量函数的微分与积分 78

1.向量函数及其微分法 78

2.向量函数的导数的物理意义和几何意义 82

3.向量函数的不定积分与定积分 84

第十章 多元函数 88

10.1 n 维欧几里德空间 Rn 内点集的一些初步知识 88

1.n 维欧几里德空间 Rn 88

2.Rn 内点集的一些基本概念 90

10.2 多元函数的概念 96

1.实例 96

2.二元函数 97

3.n 元函数的定义 100

4.复合函数 102

10.3 多元函数的极限 104

1.点列的极限 104

2.两个基本引理 105

3.重极限 106

4.方向极限 111

6.累次极限 114

10.4 多元函数的连续性 118

2.性质和运算法则 119

3.附注和例子 119

1.定义 119

4.闭域上连续函数的性质 121

第十一章 多元函数微分学 124

11.1 偏导数 124

1.偏导数 124

2.复合函数微分法 128

3.曲面的切平面与法线 133

11.2 全微分 138

1.全微分 138

2.全微分的几何意义 142

3.全微分在近似计算中的应用 143

11.3 方向导数与梯度 147

1.方向导数 147

2.梯度 149

11.4 齐次函数与欧拉定理 151

11.5 高阶偏导数 154

11.6 二元函数的泰勒公式 162

11.7 二元函数的极值 167

1.极值的概念 167

2.极值的一个判别法 169

3.最大值与最小值 173

4.最小二乘法 176

第十二章 隐函数 183

12.1 由一个方程所确定的隐函数 183

1.存在性定理 183

2.可微性定理 187

3.例子 189

12.2 由方程组所确定的隐函数 194

1.含一个自变量两个未知函数的情形 194

2.含 n 个自变量 m 个未知函数的情形 203

3.反函数的存在性与可微性 205

12.3 条件极值——拉格朗日乘数法 210

12.4 雅可比行列式 函数的相关性 218

1.雅可比矩阵 218

2.雅可比行列式的某些性质 220

3.函数的相关性 224

第十三章 广义积分与含参变量的积分 233

13.1 无穷区间上的积分 233

1.收敛与发散的定义 233

2.被积函数非负时的敛散性判别法 237

13.2 无界函数的积分 245

1.收敛与发散的定义 245

2.敛散性判别法 250

3.一般被积函数的情况 250

13.3 含参变量的定积分 258

13.4 含参变量的广义积分 一致收敛性 269

1.无穷积分一致收敛的定义与 M 判别法 269

2.一致收敛的广义积分的性质 272

3.计算积分例 276

13.5 Γ函数与 B 函数 281

1.Γ函数 281

2.B 函数 283

3.计算积分例 286

13.6 斯突林公式 292

第十四章 重积分 295

14.1 二重积分的概念和性质 295

1.引入二重积分的两个典型问题 295

2.二重积分的定义与可积函数 297

3.二重积分的性质 300

14.2 在直角坐标系中二重积分的计算 303

1.在极坐标系中二重积分的计算 316

14.3 二重积分的换元法 316

2.二重积分的换元公式 321

14.4 三重积分的概念及计算 326

1.三重积分的概念 326

2.直角坐标系中三重积分的计算 327

14.5 三重积分的换元法 332

1.一般换元公式 332

2.柱面坐标变换 333

3.球面坐标变换 335

4.例 338

14.6 应用 342

1.曲面的面积 342

2.质量中心 345

3.转动惯量 349

第十五章 曲线积分 曲面积分 353

15.1 曲线积分的概念及计算 353

1.例子 353

2.第一型(对弧长的)曲线积分 355

3.第二型(对坐标的)曲线积分 359

4.两类曲线积分之间的联系 364

5.空间曲线积分 365

15.2 格林公式 370

15.3 平面上曲线积分与路线无关的条件 377

15.4 曲面积分的概念及计算 385

1.流量问题 385

2.第一型(对面积的)曲面积分 387

3.第二型(对坐标的)曲面积分 391

4.两类曲面积分之间的联系 397

15.5 高斯公式 399

1.斯托克斯公式 408

15.6 斯托克斯公式 空间曲线积分与路线无关的条件 408

2.空间曲线积分与路线无关的条件 412

15.7 场论初步 417

1.数量场与向量场 417

2.等值面与梯度 418

3.散度 419

4.环量与旋度 422

5.向量微分算子 426

15.8 在正交曲线坐标系中▽U，▽·A，▽×A 和△U 的表示式 432

复习题三 440

习题答案与提示 447