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一 证明的由来 1

1.1 证明的作用是什么 2

1.2 数学证明的由来 4

1.3 古代希腊的数学证明 5

1.4 证明方法不限于数学 7

1.5 东方古代社会的数学证明 9

二 证明的功用 14

2.1 直观可靠吗 15

2.2 证明可靠吗 24

2.3 证明是完全客观的吗 28

2.4 证明与信念 34

2.5 证明与理解 40

三 证明与理解(一) 46

3.1 一个数学认知能力的实验 46

3.2 二次方程的解的公式 51

3.3 希腊《原本》里的勾股定理 53

3.4 刘徽的一题多证 55

3.5 高斯的一题多证 60

四 证明与理解(二) 66

4.1 欧拉的七桥问题 66

4.2 欧拉的多面体公式 74

4.3 几个重要的不等式 82

五 证明与理解(三) 90

5.1 一条关于正多边形的几何定理 91

5.2 薄饼与三明治 93

5.3 微积分基本定理 96

5.4 舞伴的问题 100

5.5 几个著名的反例 101

六 证明与理解(四) 111

6.1 四色问题 111

6.2 费尔玛最后定理 116

6.3 一致收敛的函数序列 119

7.1 两个古老的反证法证明 123

七 反证法 123

7.2 间接证明与反证法 125

7.3 逆否命题 126

7.4 史坦纳—李密士定理 128

7.5 反证法在数学以外的运用 130

八 存在性证明 132

8.1 两个头发根数相同的人 132

8.2 一条古老的存在性定理 135

8.3 数学乎?神学乎 136

8.4 高斯类数猜想的征服 138

8.5 存在性证明的功用 141

8.6 极值问题的解的存在性 144

8.7 有理数与无理数 147

8.8 代数数与超越数 148

9.1 十五方块的玩意 153

九 不可能性证明 153

9.2 一个很古老的不可能性证明 156

9.3 古代三大难题 158

9.4 不可能证明的证明 162

9.5 希尔伯特的问题 167

十 一次亲身经历：最长周长的内接多边形 173

10.1 一个熟悉的问题 173

10.2 初步的试验结果 175

10.3 旁敲侧击 176

10.4 艰苦战斗 178

10.5 拨开云雾见青天 182

10.6 各归其位 184

10.7 余音未了 188

后记 191

外国人名索引 192