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目录 1

预备知识 1

1．霍尔得不等式 1

2．明可夫斯基不等式 5

第一章　距离空间 9

§1　距离空间 9

1．距离的概念 9

2．距离空间举例 11

§2　距离空间中的点集 19

1．开球与闭球 19

2．开集与闭集 20

3．接触点·聚点·孤立点 22

4．闭包·导集 23

5．点集的距离 23

§3 点列极限与连续映射 24

1．点列极限 24

2．收敛点列的意义 27

3．连续映射 30

§4　稠密性与可分性 35

1．稠密性的概念 35

2．可分性的概念 38

1．完备距离空间的概念 41

§5 完备性 41

2．疏朗集与纲集 45

§6　列紧性与紧性 49

1．列紧性 49

2．全有界性 51

3．列紧性与全有界性的关系 53

4．某些具体空间中列紧集的特征 56

5．自列紧性与紧性 60

6．紧集上连续泛函的性质 63

§7　压缩映射原理 67

1．线性空间 74

第二章　赋范线性空间与巴拿赫空间 74

§1　赋范线性空间 74

2．赋范线性空间 80

3．范数与距离的关系 82

4．强收敛 84

§2 巴拿赫空间 87

1．巴拿赫空间的概念 87

2．有限维赋范线性空间 92

3．向量级数 100

1．线性算子 104

第三章　有界线性算子与算子空间 104

§1　有界线性算子 104

2．有界线性算子 109

3．有界性与连续性 113

4．算子的范数 116

§2　算子空间 126

1．线性算子空间 126

2．有界线性算子空间 129

3．共轭空间及其表示 131

4．算子列的强收敛与一致收敛 143

1．内积空间的概念 147

第四章　内积空间与希尔伯特空间 147

§1 内积空间 147

2．内积空间的特征 152

3．希尔伯特空间的概念 156

§2　直交投影 159

1．直交的概念 159

2．投影定理 161

3．投影算子 166

§3　直交系 171

1．直交系与标准直交系的概念 171

2．线性无关序列的直交化 173

3．向量的傅立叶级数展开式 175

4．标准直交系的完全性 182

§4 希尔伯特空间的同构性 186

1．希尔伯特空间的同构性 186

2．希尔伯特空间上有界线性泛函的表示 188

第五章　赋范线性空间与巴拿赫空间的几个基本定理 192

§1　汉恩-巴拿赫定理 192

1．佐恩引理 193

2．汉恩-巴拿赫定理 194

3．汉恩-巴拿赫定理的若干推论 201

1．二次共轭空间与嵌入算子 208

§2　共轭算子 208

2．共轭算子 210

§3　开映射定理、闭图象定理、共鸣定理 217

1．开映射定理 217

2．闭图象定理 222

3．共鸣定理 225

§4 弱收敛与弱＊收敛 232

1．弱收敛 232

2．弱＊收敛 236

附表：常见空间表 243