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第一章 数列与级数 1

1.1 数列 1

1.1.1 数列的极限 1

1.1.2 极限的求法 3

1.1.3 基本定理 8

习题1.1A 12

1.1B 13

1.2 级数及它的和 14

1.2.1 基本性质 14

1.2.2 正项级数 16

1.2.3 交错级数 22

1.2.4 一般级数 24

习题 1.2A 29

1.2B 30

第二章 微分法 31

2.1 初等函数及其性质 31

2.1.1 函数 31

2.1.2 初等函数 34

2.2.1 极限 49

2.2 函数的极限 49

2.2.2 重要的极限值 54

2.2.3 连续函数 55

2.2.4 兰道(Landau)的记号 58

习题2.1A 60

习题2.1B 61

2.3 导函数 62

2.3.1 可微性 62

2.3.2 导函数的计算 66

2.3.3 高阶导函数 69

2.3.4 向量值函数的微分法 72

习题2.2A 75

2.2B 76

2.4 基本定理 77

2.4.1 关于连续函数的定理 77

2.4.2 中值定理 80

2.4.3 台劳(Taylor)定理 84

2.5.1 增加、减少 90

2.5 函数的性质 90

2.5.2 凸函数与凹函数 91

2.5.3 极大与极小 96

2.5.4 不定型的极限值 98

习题2.3A 99

2.3B 100

第三章 积分法 101

3.1 不定积分 101

3.1.1 基本公式 101

3.1.2 换元积分法与分部积分法 104

3.1.3 有理函数的积分法 109

3.1.4 三角函数的积分法 113

3.1.5 无理函数的积分法 120

习题3.1A 123

3.1B 124

3.2 简单的微分方程 124

3.2.1 变量分离型 125

3.2.2 齐次型 127

3.2.3 一阶线性微分方程 128

习题3.2A 131

3.3 定积分 132

3.3.1 基本定理 132

3.3.2 定积分的计算 139

3.3.3 广义积分 144

习题3.3A 154

3.3B 156

3.4 定积分的应用 156

3.4.1 极坐标 157

3.4.2 面积 158

3.4.3 体积 161

3.4.4 曲线弧长 163

习题3.4A 167

3.4B 167

第四章 偏微分 169

4.1 函数及其极限值 169

4.1.1 函数的定义及其图形 169

4.1.2 极限与连续 171

4.2 偏微分及其计算 174

4.2.1 偏微分与方向微分 174

4.2.2 可微性与切平面 177

4.2.3 偏导函数 179

4.2.4 复合函数的微分法 181

4.2.5 n元函数 187

4.3 基本定理 189

4.3.1 关于连续函数的定理 189

4.3.2 微分，雅可比(Jacobi)矩阵 192

4.3.3 高阶偏导数的交换次序 199

4.3.4 台劳(Taylor)定理 200

习题4.1A 203

4.1B 204

4.4 隐函数 206

4.4.1 隐函数的微分 206

4.4.2 逆映射 213

4.5.1 二元函数的极值 215

4.5 函数的极值 215

4.5.2 隐函数的极值 218

4.5.3 条件极值 219

4.5.4 最大、最小 221

4.5.5 多元函数的极值 222

习题4.2A 224

4.2B 225

4.6 平面曲线 226

4.6.1 曲线的作图 226

4.6.2 曲率 231

4.6.3 曲率圆 233

4.6.4 包络线 235

4.7 空间曲线 237

习题4.3A 238

4.3B 239

第五章 重积分 240

5.1 二重积分 240

5.1.1 二重积分的定义 240

5.1.2 面积确定的集合 242

5.1.3 基本公式 245

5.2 二重积分的计算 247

5.2.1 累次积分 247

5.2.2 变量变换 252

5.3 广义积分 255

5.3.1 无界函数的积分 256

5.3.2 无穷积分 257

5.4 重积分 259

习题5.1A 261

5.1B 262

5.5 在图形上的应用 263

5.5.1 体积 263

5.5.2 曲面面积 266

5.6 重心与转动惯量 270

5.6.1 重心 270

5.6.2 转运惯量 274

习题5.2A 276

5.2B 277

6.1.1 上确界，下确界 279

第六章 分析基础 279

6.1 实数的连续性 279

6.1.2 点集与点列 282

6.1.3 柯西收敛条件 288

6.2 连续函数 291

6.2.1 连续函数的基本性质 291

6.2.2 连续函数的可积性 297

习题6.1A 303

6.1B 304

6.3.1 函数的展开 305

6.3 幂级数 305

6.3.2 幂级数的收敛半径 307

6.3.3 函数列的一致收敛 313

6.3.4 逐项微分与逐项积分 320

习题6.2A 327

6.2B 327

习题答案 328

索引 342