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第一章 一元函数极限 1

1.1 用定义证明极限存在性 1

1.2 求极限值的若干方法 9

一、初等变形求极限 10

二、用初等变形化为巳知极限 11

三、利用变量替换求极限 14

四、两边夹法则 15

五、两边夹法则的推广形式 18

六、求极限的其他方法 19

1.3 O.Stolz公式 22

一、序列的情况 23

二、函数极限的情况 28

1.4 递推形式的极限 34

一、利用存在性求极限 34

二、写出通项求极限 41

三、替换与变形 46

四、图解法 48

1.5 序列的上、下极限 51

一、利用e-N语言描述上、下极限 52

二、利用子序列的极限描述上、下极限 55

三、利用确界的极限描述上、下极限 57

四、利用上、下极限研究序列的极限 58

五、上、下极限的运算性质 61

1.6 函数的上、下极限 64

一、函数上、下极限的定义及等价描述 65

二、单侧上、下极限 70

三、函数上、下极限的不等式 70

1.7 实数及其基本定理 71

一、实数的引人 72

二、实数基本定理 75

第二章 一元函数的连续性 81

2.1 连续性的证明与应用 81

一、连续性的证明 81

二、连续性的应用 88

2.2 一致连续性 93

一、利用一致连续的定义及其否定形式证题 93

二、一致连续与连续的关系 97

三、用连续模数描述一致连续性 102

四、集上的连续函数及一致连续函数的延拓问题 103

2.3 上、下半连续 108

一、上、下半连续的定义与等价描述 108

二、上(下)半连续的性质 111

2.4 函数方程 119

一、问题的提出 119

二、求解函数方程 120

a.推归法 120

b.转化法 124

第三章 一元微分学 128

3.1 导数 128

一、关于导数的定义和可微性 128

二、高阶导数与Lebniz公式 134

a.先拆项再求导 134

b.直接使用Leibniz公式 135

c.用数学归纳法求高阶导数 137

d.用递推公式求导 139

e.用Taylor展式求导数 140

3.2 微分中值定理 142

一、Rolle定理 143

a.关于零值点(根)的存在性 143

b.证明中值公式 145

二、Lagrange定理 147

a.利用几何意义(弦线法) 147

b.利用有限增量公式导出新的中值公式 153

c.作为函数的变形 155

三、导数的两大特性 158

a.导数无第一类间断 158

b.导数的介值性 160

四、Cauchy中值定理 161

a.推导中值公式 161

b.作为函数与导数的关系 164

3.3 Taylor公式 170

一、证明中值公式 171

二、证明不等式 173

三、导数的中值估计 174

四、关于界的估计 176

五、求无穷远处的极限 179

六、中值点的极限 181

七、函数方程中的应用 183

3.4 不等式与凸函数 186

一、不等式 186

a.利用单调性证明不等式 186

b.利用微分中值定理证明不等式 186

c.利用Taylor公式证明不等式 187

d.用求极值的方法证明不等式 187

e.利用单调极限证明不等式 189

二、凸函数 191

a.凸函数的几种定义及它们的关系 191

b.凸函数的等价描述及凸函数的性质 196

第四章 一元函数积分学 208

4.1 积分与极限 208

一、利用积分求极限 208

二、积分的极限 210

4.2 定积分的可积性 224

一、直接用定义证明可积性 227

二、利用定理证明可积性 229

a.利用定理2证明可积性 229

b.利用定理1与定理1？(例4.2.3)证明可积性 229

c.利用定理3(例4.2.8)证明可积性 234

4.3 积分值估计·积分不等式及综合问题 238

一、积分值估计 238

a.利用Darboux和估计积分值 239

b.利用变形求估计及积分估计的应用 241

二、积分不等式 249

a.用微分学的方法证明积分不等式 250

b.利用被积函数的不等式证明积分不等式 251

c.在不等式两端取变限积分证明新的不等式 254

三、综合性问题 255

4.4 几个著名的不等式 268

一、Cauchy不等式及Schwarz不等式 269

a.Cauchy不等式 269

b.Schwarz不等式 271

c.Schwarz不等式的应用 272

二、平均值不等式 276

a.基本形式 276

b.平均值不等式的推广形式 278

c.平均值不等式的积分形式 280

三、H？lder不等式 283

a.基本形式 283

b.Hǒlder不等式的积分形式 284

四、H.Minkowski不等式 285

a.基本形式 285

b.H.Minkowski不等式的积分形式 286

c.n元Minkow-ski不等式 287

五、W.H.Young不等式 288

4.5 反常积分 292

一、反常积分的计算 292

a.三大基本方法 292

b.其他方法 297

二、反常积分敛散性的判定(十二法) 300

三、无穷限的反常积分的收敛性与无穷远处的极限 312

四、反常积分的极限 317

五、反常积分作为“积分和”的极限 326

六、综合性问题 330

第五章 级数 335

5.1 数项级数 335

一、求和问题 335

a.利用已知级数 335

b.连锁消去法 336

c.方程式法 337

d.利用子序列的极限 338

e.先求S？(x)的紧缩形式 340

二、级数收敛性的判断 342

a.Cauchy准则及其应用 342

b.正项级数敛散性的判定 344

c.变号级数收敛性的判断 356

三、级数敛散性的应用 360

a.收敛性的应用 360

b.发散性的应用 364

四、级数问题的若干反例 367

五、数项级数与反常积分的关系 371

a.关于收敛性 371

b.“和”值的计算与估计 374

c.反常积分作为级数的极限 376

5.2 函数项级数 381

一、一致收剑性的判断 381

a.利用一致收敛的定义 382

b.利用Cauchy准则判断一致收效性 393

c.利用常用的判别法证明一致收敛性 398

d.一致有界与等度连续 409

二、一致收敛级数的性质 416

a.关于逐项取极限 416

b.和函数的连续性 420

c.和函数的可微性与逐项求导 424

d.逐项积分与积分号下取极限 430

e.和函数的其它性质(综合性问题) 434

5.3 幂级数 438

一、幂级数的收敛半径与收敛范围 438

a.公式法 438

b.缺项幂级数的收敛范围 443

c.利用收敛半径求极限 444

二、初等函数展为幂级数 447

三、求和问题 453

a.利用逐项求导与逐项求积分 453

b.方程式法 456

c.利用Abel第二定理计算数项级数的和 458

四、幂级数的应用 462

a.计算积分 462

b.证明不等式 468

c.近似计算 469

五、综合性问题 469

5.4 Fourier 级数 483

一、正交系 483

二、Fourier系数 485

三、求Fourier展开式 490

a.求Fourier展开式的基本方法 490

b.求Fourier展开式的一些别的方法 499

四、综合性问题 503

第六章 多元函数微分学 516

6.1 欧氏空间·多元函数的极限与连续 516

一、欧氏空间 516

a.利用模的定义 516

b.利用距离的定义和性质 517

c.利用开集、闭集的定义 517

d.利用边界的定义与聚点性质 518

二、多元函数的极限 520

a.多元涵数极限的计算 520

b.证明二元极限不存在(4法) 521

c.关于全面极限与特殊路径极限的进一步讨论 521

d.累次极限交换次序问题 524

三、多元连续函数 525

a.连续性的证明 525

b.全面连续与按单变量连续的关系 529

c.连续性的等价描述 532

d.连续函数性质的应用 533

e.一致连续性 537

6.2 多元函数的偏导数 541

一、偏导数的计算 541

二、复合函数微分法(链锁法则) 542

三、偏导数转化为极限 547

四、对微分方程作变量替换 549

a.对自变量作变量替换 549

b.自变量与因变量都变化的变量替换 552

五、多元函数的可微性 555

6.3 Taylor公式·凸函数·几何应用·极值 564

一、Taylor公式 564

二、凸函数 567

三、几何应用 571

四、极值 575

a.自由极值 575

b.条件极值与Lagrange乘数法 577

c.求函数在闭区域上的最大最小值 580

d.用极值证明不等式 581

e.极值应用问题 584

6.4 隐函数存在定理及函数相关 597

一、隐函数存在定理 597

a.一个方程的情况 597

b.多个方程的情况 603

二、函数相关 607

a.定义 607

b.函数无关的条件 608

c.齐次线性函数的情况 609

d.判定定理 610

6.5 方向导数与梯度 618

一、方向导数的计算 618

二、梯度的计算 623

第七章 多元积分学 630

7.1 含参变量积分 630

一、含参变量的正常积分 630

a.积分号下取极限与连续性守恒 630

b.各分号下求导与积分号下求积分 633

二、判断含参变量反常积分的一致收敛性 640

a.利用定义判断 640

b.用Cauchy准则判断 643

c.用M判别法判断 647

d.Abel判别法与Dirichlet判别法 649

三、含参变量反常积分的极限与连续性 652

a.积分号下取极限 652

b.含参变量反常积分的连续性 654

四、含参变量反常积分积分号下求导与积分号下求积分 659

a.积分号下求导 659

b.积分号下求积分 663

五、反常积分的计算 665

a.利用积分号下求导 665

b.通过建立微分方程求积分值 667

c.引入收敛因子法 667

d.利用反常积分定义及变量替换 670

e.利用别的积分 675

六、综合性例题 676

七、Euler积分 679

a.Euler积分及其基本变形 680

b.Euler积分的相互转换 682

c.利用Euler积分表示其它积分 683

d.余元公式的利用 688

7.2 重积分 695

一、二重积分 695

a.二重积分定义的应用 696

b.证明可积性 697

c.二重积分的计算 699

二、三重积分 709

a.三重积分化为累次积分 709

b.三重积分换元 713

c.用三重积分计算体积 718

三、二重、三重反常积分 721

a.比较判别法 722

b.对非负被积函数可用特殊方式切割取极限 723

c.(变号函数)用不同方式切割，极限不同，以证明发散 727

d.用某种方式切割，极限不存在，以证积分发散 728

e.Cauchy判别法的利用 729

f.Cauchy准则的利用 730

g.二重、三重反常积分的计算 732

四、n重积分 734

a.化为累次积分 736

b.变量替换 737

c.递推与降维 740

d.利用积分定义 744

7.3 典线积分与Green公式 752

一、曲线积分的性质与计算 752

a.对称性 752

b.曲线积分化为定积分 755

c.曲线积分的性质 763

二、Green公式 764

a.计算封闭曲线上的线积分 765

b.计算开口曲线上的线积分 769

c.用于计算第一型曲线积分 770

d.由积分性质导出微分性质 771

三、积分与路径无关的问题 774

a.利用与路径无关性计算线积分 775

b.利用原函数求积分 779

c.利用线积分求原函数 781

7.4 曲面积分Gauss公式及Stokes公式 785

一、第一型曲面积分的计算 785

a.利用对称性 785

b.利用公式计算第一型曲面积分 786

二、第二型曲面积分的计算 794

a.利用对称性 795

b.用公式化第二型曲面积分为二重积分 796

c.利用两种曲面积分的关系解题 801

三、Gauss公式 801

a.利用Gauss公式计算曲面积分 802

b.从积分性质导出微分性质 809

四、Stokes公式 811

7.5 场论 820

一、利用梯度、散度和旋度的定义直接证明有关公式 820

a.数量等式 821

b.向量等式 822

c.求旋度和散度 823

二、梯度、散度、旋度的基本公式及其应用 825

三、借助场论符号表示积分公式 828

四、四种重要的向量场 834