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第1章 函数 1

1.1 命题与疑问 1

1.y=c不是函数 1

2.1=0 1

3.关于原点对称的函数一定是奇函数 1

4.两个奇函数之和一定是奇函数 1

5.分段定义的函数都是非初等函数 2

6.在任一有限区间上都有界的函数，在整个数轴上都有界 3

7.只有单调函数才有反函数 3

8.在定义域内每一点都有有限值，在任一点的邻域内都有界 4

9.不对称于原点的奇函数 5

10.没有周期的周期函数 5

11.周期函数的和（差）仍然是周期函数 6

12.周期函数与非周期函数的和仍然是非周期函数 6

13.两个非周期函数构成的复合函数仍然是非周期函数 6

14.任何周期函数都有最小正周期 7

15.两个无界函数之积仍然是无界函数 7

16.两个单调函数之积仍然是单调函数 7

17.在任何区间内都不单调的函数 8

18.√2是有理数 8

19.函数y=b的反函数 9

20.没有反函数的复合函数 9

21.√2=一√2 10

22.具有周期的非周期函数 11

23.1=0 11

24.单调函数的反函数却不是单调的 11

25.函数与它的反函数可以相等吗？ 12

26.2π=π 13

1.2 错误及其纠正 13

第2章 数列 19

2.1 命题与疑问 19

1.非单调数列一定不收敛 19

2.单调而减少的数列一定以零为极限 19

3.数列的最后一项 20

4.0=1 20

5.e=＋∞ 21

6.两个数列的比较 22

7.非单调数列一定不收敛 22

8.自然数列｛n｝收敛于0 22

9.收敛数列可以有两个不同的极限 23

10.无界的数列以∞为极限 23

11.发散数列的和一定发散 23

12.按数值调整数列 24

13.发散数列与收敛数列的积仍发散 25

14.既发散又收敛的数列 25

15.无理数的旋涡 26

16.？=＋∞ 27

17.1=—1 27

18.发散数列的平均值 27

19.1/＋1/1＋…=0 28

20.投影的极限等于极限的投影 30

21.柯西收敛原理的困惑 31

22.所有的子数列都收敛则数列收敛 32

23.＋∞≤2 33

24.数列乘积收敛，则每一数列必收敛 33

25.数列的算术平均值收敛，则数列收敛 34

26.√1＋√1＋√1…=＋∞？ 34

27.1/2=1 35

28.有理数列的极限一定是有理数 36

29.0=∞ 36

^30.lim n→＋∞ nsin（2πen！）=∞ 36

31.—1=＋∞ 38

2.2 错误及其纠正 38

第3章 极限 49

3.1 命题与疑问 49

1.π2=2π 49

2.√2=2 49

3.π=2 50

4.π=4 51

5.π=2 2/3 53

6.ln2=0 54

7.sin（＋∞）=？ 55

8.sin2x=2sinx 56

9.0=1/2 56

10.最高阶的无穷小 57

11.0＋0≠0 57

12.0×0×0…≠0 58

13.0×0×0…=＋∞ 58

14.夹逼准则的失效 59

15.＋1=—1 60

16.1=＋∞ 60

17.0≠0 61

18.0=1/2 61

19.1≠1 62

20.1/2=-∞ 62

21.1=0 63

22.1=√5 63

23.π/2=1 64

24.1=0 64

25.lim n→∞ sinsin…sinx=？ 65

26.lim x→＋∞（sin√x＋1-sin√x）不存在 66

27.无界函数一定是无穷大 67

28.lim sgn n→∞|sin2 （n！πx）=—1或0或＋1 67

29.复合函数的极限 68

30.两个无极限的函数之积仍无极限 68

31.1≠1 69

32.没有极限的复合函数的极限 69

33.0≠0 70

34.非无穷小的乘积可以是无穷小 70

35.√2=—√2 70

36.0=1 71

37.没有极限的极限 71

38.0=π 72

3.2 错误及其纠正 73

第4章 函数的连续性 78

4.1 命题与疑问 78

1.处处有定义而处处不连续的函数 78

2.仅在一点连续的函数 79

3.在无理点上连续而在有理点上间断的函数 79

4.不连续函数的和函数 81

5.两个不连续函数的乘积 81

6.不连续函数的复合 82

7.既连续又间断的函数 83

8.0=1 83

9.初等函数在其定义域内都连续 83

10.1=0 84

11.连续函数的极限函数仍然是连续函数 84

12.处处连续函数的极限函数依然是处处连续函数 85

13.仅在整数点上连续的函数 85

14.能取两个数之间的一切数值，函数就一定连续 86

15.不连续函数的反函数仍不连续 87

16.连续性概念的质疑 87

17.连续函数的图形上一定没有“洞”吗？ 89

18.可以通过曲线任何点的圆柱形管子 90

19.面积误差一致的正方形 92

20.连续而有界的函数一定一致连续 92

21.一致连续的函数一定有界 93

22.既一致连续又不一致连续 93

23.两个一致连续函数之积一定一致连续 94

24.一致连续函数的反函数也一致连续 95

4.2 错误及其纠正 97

第5章 一元函数微分学 100

5.1 命题与疑问 100

1.处处间断函数的导数 100

2.仅在一点可导的函数 100

3.处处连续而无处可导的函数 101

4.0=＋∞ 106

5.几乎处处可导又几乎处处不可导函数 107

6.f′（x0）=0说明了什么？ 109

7.函数处处连续可导，导函数一定连续 111

8.f′（x0）＞0说明了什么？ 111

9.函数在不连续点上的导数 113

10.无穷远∞处的导数 114

11.不能成为导函数的函数 115

12.存在切线吗？ 116

13.1/2=—∞=＋∞ 119

14.0=—∞ 120

15.0=不存在 121

16.φ（a）≠φ（a） 122

17.函数在无定义点处的导数 122

18.处处不可导函数的复合却可以处处可导 123

19.d/dx（max｛f（x），g（x）｝）=？，d/dx（min{f（x），g（x）｝）=？ 124

20.0≠0 126

21.中值定理的失效 127

22.lim x→x＋ 0 f′（x）=f′＋（x0），lim x→x- 0 f′（x）=f′-（x0） 128

23.与任何弦都不平行的切线 129

24.初等函数一定可导 129

25.严格单调增加的连续函数一定处处可导 130

26.严格单调增加而处处可导的函数，其导数必大于0 130

27.limsin x→0 1/x=0 131

28.sinα=√2 132

29.一点的切线 133

30.偶函数一定以x=0为极值点 133

31.重要极限lim x→0 sinx/x=1的新证法 134

32.0≠0 135

33.一切正分数都相等 135

34.＋π/6=-π/2 135

35.不能求得结果的极限 136

36.1 =不存在 137

37.0≠0 138

38.＋π=—π 139

39.0=e 1/e 139

40.0=不确定 141

41.limcos x→0 1/x=0 141

42.√2≤1 142

43.0=不存在 144

44.同一个函数？ 144

45.√2=1 145

46.在圆内没有最大也没有最小的弦 146

47.0/0=0 146

48.在极值点的邻域内，两边的导数一定保持同一种符号 147

49.极大值等于极小值的非常值函数 148

50.0≠0 148

51.不等式的微分法 149

52.圆内每一点都是圆心 149

53.2√3＜3 150

54.2=∞ 150

55.无法求得结果的极限 151

56.f″（x0）=0的点x0一定不取得极值 152

57.函数在一点任意阶导数都等于0，函数在该点能否取得极值 153

58.函数有n阶导数就有任意阶导数 155

59.椭圆处处向下凹 156

60.不存在最大值或最小值的闭区间上的连续函数 157

61.f″（x0）不存在，点（x0，f（x0））一定不是拐点 157

62.既取得极值又取得拐点 158

63.没有泰勒展开式的可展函数 158

64.对给定的误差，不能用多项式逼近的函数 159

65.函数在一点导数大于0，则函数在该点的邻域内单调增加 159

66.若导函数不连续，那么间断点是第几类？ 160

67.曲线上两边凹凸方向不同的点就是拐点 162

68.若lim x→x- 0 f′（x）=lim x→x＋ 0 f′（x）则f′（x0）存在 162

69.区间之外的中值 163

70.求导的疑虑 163

71.4＞5 163

72.不是拐点的拐点 164

73.没有导数的导数 165

5.2 错误及其纠正 166

第6章 原函数与不定积分 177

6.1 命题与疑问 177

1.两个原函数之间相差不等于一个常数 177

2.不连续函数可以有原函数吗？ 177

3.原函数对区间具有可加性 178

4.一切初等函数在其定义域内都有原函数 178

5.ln（—1）=0 179

6.初等函数的原函数一定是初等函数 179

7.一个函数可以有不同形式的原函数 180

8.没有原函数的两个函数的和函数却有原函数 181

9.偶函数的原函数是奇函数，奇函数的原函数是偶函数 182

10.积分是微分的逆运算 183

11.tanx=±i 183

12.sinx=±1 184

13.sin2x=1 184

14.连续函数的原函数却不连续 185

15.间断函数sgnx的不定积分 185

16.可积分函数的和不可积分 186

17.不能积分函数的和却可积分 186

18.有理函数的（不定）积分仍是有理函数 187

19.π/4=-π/4 188

20.0=1 188

21.0=1=2=…=n 189

22.积不出来的函数其和却可以积出来 190

23.周期函数的原函数仍然是周期函数 190

24.函数|x|处处可导 192

25.|x|=x 192

26.连续函数却没有原函数 193

6.2 错误及其纠正 193

第7章 定积分 201

7.1 命题与疑问 201

1.在区间上可积的函数一定存在原函数 201

2.0≠0 202

3.有界函数一定可积分 203

4.有无穷多间断点的函数也可积分 204

5.单调函数一定可积分 205

6.开区间内连续的函数可否积分？ 206

7.绝对可积的函数一定可积 207

8.两个可积函数的复合函数一定可积 208

9.两个不可积函数的复合函数一定不可积 208

10.若f（x）≥0且可积，则∫b a f（x）dx＞0 209

11.可积函数与不可积函数之积可积分或不可积分 209

12.两个不可积函数的乘积仍不可积 209

13.d/dx∫x 0 f（t）dt≠f（x） 210

14.—2＞0 210

15.0=—2 211

16.-1/3＞0 211

17.-π/2=π/2 212

18.0=1 213

19.0≥π/3 214

20.失去的部分 215

21.在对称区间上奇函数的积分不等于零 215

22.sinx=cosx 216

23.0=1 217

24.2≠2 217

25.0≥2/3 218

26.1n2=1=0 219

27.0≥1/2 219

28.不存在的中值 220

29.π/2=-π/2 221

30.0≥0 221

31.π/4≠π/4 222

32.0=1 223

33.在对称区间上可积分的函数都是偶函数 224

34.牛顿-莱布尼茨公式的困惑 224

35.若|f（x）|可积分，则f（x）也可积分 225

36.估值的错误 225

37.π/4=π/4？ 226

38.0＞π/4 227

39.d/dx∫x 0[t]dt=[x] 227

40.2π=5/2π 228

41.0=1 229

42.闭区间上连续曲线是否一定可求长 229

43.0=∞—∞ 231

44.若∫＋∞ a f（x）dx收敛，则lim x→＋∞ f（x）=0 231

45.若∫＋∞ a f（x）dx收敛，则f（x）在[0，＋∞）内有界 233

46.图形无限面积却有限 234

47.面积无限体积却有限 234

48.若f（x）在[a，十∞）内绝对收敛，则和∫＋∞ a f2（x）dx也收敛 235

49.0=—2 236

50.∞—∞=0 236

51.连续奇函数的原函数是偶函数，连续偶函数的原函数是奇函数 237

7.2 错误及其纠正 237

第8章 多元函数微分学 256

8.1 命题与疑问 256

1.＋1=—1 256

2.0=1 256

3.0=—1 257

4.沿任意方向的极限存在，函数的极限就一定存在 258

5.0=√-∞ 258

6.0≠0 259

7.e=1 259

8.0≠0 260

9.二元函数f（x，y）分别对每一个变量都连续就是二元连续函数 261

10.函数f（x，y）沿任意过点（x0，y0）的射线是连续的，则函数在该点连续 262

11.在每个点都连续的不连续函数 263

12.在平面上任一点都不连续的函数 263

13.存在偏导数就一定连续 264

14.存在偏导数就一定可微分 264

15.偏导数不连续，函数就不可微分 265

16.仅在一点可微分的函数 266

17.沿任意方向的方向导数存在，函数就一定连续 267

18.每一点都有偏导数，则偏导数就有界 268

19.√2=＋∞ 269

20.函数沿任意方向的方向导数存在，函数就可微分 269

21.cosθ=cos3 θ 270

22.具有全微分的不可微函数 271

23.函数f（x，y）在点（x0，y0）处沿任意方向的方向导数都相等，则f′x（x0，y0）=f′y（x0，y0） 271

24.f′x（x，y）=f′y（x，y）≡0，则f（x，y是常数 272

25.0=1/√2 273

26.0=1/√2=＋∞ 273

27.—1=＋1 274

28.二阶偏导数在某点存在，则一阶偏导数在该点连续 275

29.＋1=—1 276

30.存在隐函数却不唯一 277

31.函数f（x，y）过点（x0，y0）的任意直线上都有极值，函数在该点就一定有极值 278

32.—1＞0 278

33.在不连续点上函数是否有极值 280

34.有多个极大值而无极小值的函数 280

35.不是极值的极值 281

36.点到曲面的最短距离不存在 282

8.2 错误及其纠正 282

第9章 多元函数积分学 293

9.1 命题与疑问 293

1.＋1=—1 293

2.若∫d c dy∫b a f（x，y）dx=∫b a dx ∫d c f（x，y）dy，则函数f（x，y）在D：a≤x≤b，c≤y≤d上可积分 293

3.0≠0 295

4.π/4=—π/4 295

5.二重积分存在就能化作二次积分计算 296

6.0=0？ 298

7.1/2=—1/2 299

8.二重积分由直角坐标变换到极坐标的疑问 299

9.3/2=—3/2 301

10.—4≥0 302

11.1≥1 303

12.0=1/2 304

13.1=0 305

14.1=0 305

15.能用二重积分计算单积分？ 307

16.能用微分计算定积分？ 308

17.连续函数的广义二重积分却不存在？ 310

18.0=ln2 312

19.广义二重积分收敛，则绝对收敛？ 313

20.不连续函数的积分可能连续吗？ 315

21.4=5 316

22.0＞0 317

23.？P/？y=？Q/？x，积分却与路径有关 317

24.0=2π 319

25.非单连通区域上，曲线积分一定与路径有关 320

26.0=—8 321

27.0≠0 321

9.2 错误及其纠正 322

第10章 无穷级数 330

10.1 命题与疑问 330

1.级数若一项比一项小，则级数收敛 330

2.一般项趋于零，级数就收敛 330

3.无限长的图形能有有限的面积吗？ 330

4.收敛的级数不必一项比一项小 331

5.＋∞=—1 331

6.1=0 333

7.1=1/2 334

8.e=1/2＋e 335

9.有和的发散级数 336

10.1/2=1/3 337

11.优于发散级数的收敛级数 337

12.部分和数列有界的发散级数 338

13.发散的收敛级数 339

14.发散级数的和级数仍然发散 340

15.两个发散级数的对应项乘积级数仍发散 340

16.两个收敛级数的对应项乘积级数仍收敛 340

17.每一个级数都可以收敛于预先指定的数 341

18.若lim n→＋∞ a n＋1/a n不存在，则级数发散 341

19.既发散又收敛的级数 341

20.两个收敛级数的柯西乘积级数一定收敛 342

21.两个发散级数的柯西乘积级数一定发散 344

22.0=0？ 344

23.收敛的级数必定lim n→＋∞ a n＋1/a n＜1 344

24.极限比较法的失效？ 345

25.部分和有界，级数就收敛 346

26.存在收敛或发散得最慢的级数 347

27.发散级数也有用？ 349

28.几何级数与p-级数比较，哪个收敛得更慢？ 353

29.ln2=3/2 ln2 355

30.1=2 356

31.ln2=0 356

32.ln2=0 357

33.ln2=1/2ln2 357

34.每一个数都等于0 358

35.—1=＋∞ 359

36.1=1/2 359

37.每一个级数都可以收敛于预先给定的数值 360

38.1=0 361

39.发散的莱布尼茨型级数 361

40.0≤0 362

41.两个发散级数的差一定发散 363

42.1=3/2 364

43.后项不小于前项的交错级数一定发散 365

44.∞∑n=1（—1）n＋1=1/2？1/3？1/4？… 366

45.0＞1/2 367

46.收敛的级数中有发散的子级数 368

47.收敛级数重排后的级数仍然收敛 370

48.收敛于任何数的收敛级数 371

49.lim n→∞ a n＋1/a n=＋∞，级数就发散 373

50.e - 1/2 x=0 373

51.在收敛半径之外还收敛的幂级数 374

52.连续函数的无穷和可以是不连续吗？ 375

53.幂级数在收敛区域内绝对收敛 376

54.幂级数在收敛区间（—R，R）内一致收敛 376

55.仅在一点收敛的幂级数也是一个函数的麦克劳林级数？ 377

56.只在原点收敛的麦克劳林级数？ 378

57.1/2=0 379

58.收敛的区域能扩大吗？ 380

59.1=2 382

60.0=1 382

61.收敛区间内的发散级数 383

62.0=1/2 383

63.在收敛区域内仍发散的级数 384

64.绝对并一致收敛的级数=绝对值级数的一致收敛 385

65.一致收敛导致绝对收敛 387

66.各项都不连续的函数项级数能一致收敛于连续的函数吗？ 388

67.收敛级数的导数仍然收敛 388

68.发散级数的导数仍然发散 389

69.∞∑n=1 ∫b a un（x）dx=∫b a ∞∑n=1 un（x）dx 390

70.可积分的收敛级数其和函数也可积分 391

71.不一致收敛的级数有连续的和函数？ 391

72.不一致收敛级数的微商 393

73.＋∞=＋∞？ 396

74.两个不同的函数可以有相同的泰勒级数？ 397

75.不收敛于函数的麦克劳林级数？ 398

76.圆的周长是椭圆周长的特例 399

77.收敛的三角级数都是傅氏级数 401

78.三角级数就是傅氏级数 403

79.0=±π 405

80.0=＋∞ 406

81.不收敛的傅氏级数也可逐项积分？ 407

82.0≠0 409

10.2 错误及其纠正 410

参考文献 427