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第一部分 复变函数 1

第一章 解析函数 1

1 预备知识 1

1.复数的四则运算 2

2.复数的几何表示 2

3.复平面的点集与区域 5

习题1 7

2 复变函数 8

1.复变函数的概念及其几何表示 8

2.复变函数的极限与连续性 10

习题2 13

3 解析函数 13

1.复变函数的导数 13

2.解析函数的概念 15

3.柯西-黎曼条件 16

习题3 21

4 初等解析函数 21

1.指数函数 21

2.三角函数与双曲函数 23

3.对数函数 26

4.幂函数 28

5.反三角函数 29

习题4 30

第二章 复变函数的积分 31

1 复变函数积分的概念及其简单性质 31

1.复变函数积分的定义 31

2.积分的存在定理及其计算公式 32

习题1 35

3.复变函数积分的简单性质 35

2 解析函数积分的基本定理 36

1.柯西积分定理 36

2.不定积分 40

习题2 43

3 基本定理的推广--复合闭路定理 43

习题3 47

4 解析函数积分的基本公式 48

1.柯西积分公式 48

2.解析函数的高阶导数 51

习题4 54

5 解析函数与调和函数的关系 55

习题5 60

一、复数项级数 61

1.复数数列 61

1 复数项级数与幂级数 61

第三章 解析函数的级数展开式 61

2.复数项级数 62

3.条件收敛与绝对收敛 63

二、幂级数 64

1.幂级数的概念 64

2.收敛圆与收敛半径 66

3.幂级数收敛半径的求法 67

4.幂级数的运算和性质 68

习题1 70

2 解析函数的级数展开式 71

1.解析函数的泰勒展开式 71

2.一些初等函数展成幂级数 73

3.罗朗(Laurent)级数 80

4.解析函数的罗朗展开式 80

5.罗朗级数展开举例 81

习题2 85

第四章 留数及其应用 87

1 解析函数的孤立奇点 87

1.孤立奇点的分类 87

2.可去奇点 88

3.极点 89

4.函数的零点与极点的关系 90

习题1 92

2 留数及其应用 92

1.留数的概念与计算 93

2 留数定理 97

3.围道积分举例 100

习题2 106

1.解析函数在无穷远点领域内的性质 108

3 解析函数在无穷远点处的性质与留数 108

2.关于无穷远点的留数概念及其计算 110

习题3 114

第五章 保角映射 116

1 解析函数所构成的映射 116

1.解析函数所构成映射的保角性 116

2.保角映射的概念 119

习题1 120

2 双线性映射 120

1.以线性函数所构成的映射的保角性 120

2.双线性映射的保圆性 122

3.双线性映射的应用 124

习题2 129

3 几个初等函数所构成的映射 130

1.幂函数与根式函数 130

2.指数函数w=e？所构成的映射 132

习题3 134

第二部分 积分变换 137

第一章 傅里叶变换 137

1 傅里叶变换的概念及其存在条件 137

1.傅里叶变换的概念与傅里叶变换存在定理 137

2.单位脉冲函数及其傅氏变换 140

习题1 145

2 傅氏变换的性质及其应用 146

1.傅氏变换的性质 146

2.傅氏变换在频谱分析上的应用 153

习题2 158

第二章 拉普拉斯变换 160

1 拉普拉斯变换的概念及其存在条件 160

1.拉氏变换的概念 160

2.拉氏变换存在定理 163

2 拉氏变换的性质 169

习题1 178

3 拉氏逆变换 179

习题2 185

4 卷积 186

1.卷积的概念 186

2.拉氏变换的卷积定理 187

习题3 191

5 拉氏变换的应用 192

1.常系数微分方程的拉氏变换解法 192

习题4 195

附录Ⅰ 习题答案 197

附录Ⅱ 傅氏变换简表 209

附录Ⅲ 拉氏变换简表 211