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目录 1

引论 1

第一部分 历史导言 1

Ⅰ1.1 微积分的两个基本概念 1

Ⅰ1.2 历史背景 3

Ⅰ1.3 关于抛物三角形面积的穷竭法 4

Ⅰ1.4 习题 10

Ⅰ1.5 阿基米德方法的严格分析 10

Ⅰ1.6 本书使用的微积分的研究方法 13

第二部分 集合论的一些基本概念 15

Ⅰ2.1 集合论导言 15

Ⅰ2.2 用于集合的记号 16

Ⅰ2.3 子集 17

Ⅰ2.4 并，交，余 18

Ⅰ2.5 习题 20

第三部分 关于实数系的一组公理 22

Ⅰ3.1 导言 22

Ⅰ3.2 域公理 23

Ⅰ3.3 习题 26

Ⅰ3.4 次序公理 26

Ⅰ3.5 习题 28

Ⅰ3.6 整数和有理数 29

Ⅰ3.7 实数作为直线上的点的几何解释 30

Ⅰ3.8 集合的上界，最大元，最小上界（上确界） 31

Ⅰ3.9 最小上界公理（完备性公理） 33

Ⅰ3.10 实数系的阿基米德性质 35

Ⅰ3.11 上确界和下确界的基本性质 36

Ⅰ3.12 习题 38

Ⅰ3.13 非负实数平方根的存在 39

Ⅰ3.14 高阶根·有理幂 40

Ⅰ3.15 实数的十进制小数表示法 41

第四部分 数学归纳法，求和记号和有关课题 44

Ⅰ4.1 用数学归纳法证明的一个例子 44

Ⅰ4.2 数学归纳法原理 46

Ⅰ4.3 良序原则 47

Ⅰ4.4 习题 48

Ⅰ4.5 良序原则的证明 51

Ⅰ4.6 求和记号 51

Ⅰ4.7 习题 54

Ⅰ4.8 绝对值和三角不等式 56

Ⅰ4.9 习题 59

Ⅰ4.10 用到归纳法的杂题 60

第一章 积分学概念 65

1.1 解析几何的基本概念 65

1.2 函数．直观描述和一些例子 67

1.3 函数．作为有序偶集合的形式定义 71

1.4 实函数的另外例子 73

1.5 习题 73

1.6 面积作为集函数的概念 77

1.7 习题 81

1.8 区间和纵标集 81

1.9 划分和阶梯函数 83

1.10 阶梯函数的和与积 84

1.11 习题 85

1.12 关于阶梯函数的积分的定义 87

1.13 阶梯函数积分的性质 89

1.14 关于积分的其它记号 93

1.15 习题 93

1.16 更一般函数的积分 96

1.17 上积分和下积分 99

1.18 表示为积分的纵标集的面积 100

1.19 积分理论和积分技巧的非正式评注 101

1.20 单调函数与分段单调函数，定义和例子 101

1.21 有界单调函数的可积性 103

1.22 有界单调函数积分的计算 105

1.23 当p为正整数时，积分？xpdx的计算 106

1.24 积分的基本性质 107

1.25 多项式的积分 108

1.26 习题 110

1.27 积分基本性质的证明 112

第二章 积分的若干应用 117

2.1 导言 117

2.2 将两曲线图形之间的区域的面积表示为积分 117

2.3 计算一些例子 119

2.4 习题 123

2.5 三角函数 125

2.6 正弦和余弦的积分公式 129

2.7 正弦函数和余弦函数的几何描述 135

2.8 习题 140

2.9 极坐标 144

2.10 在极坐标中面积的积分 145

2.11 习题 147

2.12 应用积分计算体积 148

2.13 习题 153

2.14 积分应用于功的概念 154

2.15 习题 156

2.16 函数的中值 157

2.17 习题 160

2.18 积分作为上限的函数．不定积分 161

2.19 习题 166

第三章 连续函数 169

3.1 连续性的非形式描述 169

3.2 函数极限的定义 170

3.3 函数连续性的定义 175

3.4 基本极限定理．连续函数的其他例子 176

3.5 基本极限定理的证明 182

3.6 习题 184

3.7 复合函数与连续性 187

3.8 习题 189

3.9 连续函数的波尔察诺定理 191

3.10 连续函数的介值定理 193

3.11 习题 194

3.12 反演法 195

3.13 经过反演保持不变的函数性质 197

3.14 分段单调函数的反函数 199

3.15 习题 200

3.16 连续函数的极值定理 201

3.17 连续函数的小间距定理（一致连续性） 203

3.18 连续函数的可积性定理 205

3.19 连续函数积分的平均值定理 206

3.20 习题 208

第四章 微分学 209

4.1 历史导言 209

4.2 一个涉及速度的问题 210

4.3 函数的导数 213

4.4 导数的例子 215

4.5 导数的代数运算 218

4.6 习题 223

4.7 导数作为斜率的几何解释 225

4.8 导数的其它记号 228

4.9 习题 231

4.10 关于微分复合函数的链式法则 233

4.11 链式法则的应用．相关变率和隐微分法 235

4.12 习题 239

4.13 微分法应用于函数的极值 242

4.14 导数的平均值定理 244

4.15 习题 248

4.16 平均值定理在函数几何性质上的应用 249

4.17 极值的二阶导数检验法 251

4.18 画曲线的草图 252

4.19 习题 255

4.20 解决极值问题的例子 255

4.21 习题 259

4.22 偏导数 261

4.23 习题 267

第五章 积分法和微分法之间的关系 269

5.1 不定积分的导数．微积分学第一基本定理 269

5.3 原函数和微积分学第二基本定理 272

5.2 零导数定理 272

5.4 由导数的性质导出的函数的性质 275

5.5 习题 276

5.6 关于原函数的莱布尼兹记号 279

5.7 代换积分法 281

5.8 习题 287

5.9 分部积分法 288

5.10 习题 291

5.11 复习杂题 294

第六章 对数、指数和反三角函数 298

6.1 导言 298

6.2 用积分定义自然对数的导因 299

6.3 对数的定义．基本性质 302

6.4 自然对数的图形 303

6.5 函数方程L（ab）＝L（a）＋L（b）的推论 304

6.6 以任何正数b？1为底的对数 305

6.7 含有对数的微分和积分公式 307

6.8 对数微分法 310

6.9 习题 311

6.10 对数的多项式逼近法 313

6.11 习题 317

6.12 指数函数 318

6.13 用e的幂表示指数 320

6.14 x为任意实数时ex的定义 321

6.15 a＞0和x是实数时ax的定义 321

6.16 涉及指数的微分和积分公式 322

6.17 习题 325

6.18 双曲函数 328

6.19 习题 329

6.20 反函数的导数 330

6.21 三角函数的反函数 331

6.22 习题 336

6.23 部分分式积分法 338

6.24 某些可以变换成为有理函数积分的积分 347

6.25 习题 351

6.26 复习杂题 352

第七章 函数的多项式逼近 357

7.1 导言 357

7.2 由函数产生的泰勒多项式 358

7.3 泰勒多项式的计算 361

7.4 习题 364

7.5 带余项的泰勒公式 365

7.6 泰勒公式的误差估计 367

7.7 泰勒公式余项的其它形式 372

7.8 习题 374

7.9 关于泰勒公式误差的进一步评注．o-记号 375

7.10 应用于不定式 380

7.11 习题 382

7.12 关于不定式0/0的洛毕达法则 383

7.13 习题 388

7.14 符号+∞和-∞．洛毕达法则的推广 390

7.15 无穷极限 392

7.16 logx和ex在x很大时的性态 394

7.17 习题 397

第八章 微分方程初步 400

8.1 导言 400

8.2 术语和记号 401

8.3 对于指数函数的一阶微分方程 403

8.4 一阶线性微分方程 404

8.5 习题 408

8.6 引出一阶线性微分方程的某些物理问题 410

8.7 习题 417

8.8 二阶常系数线性方程 421

8.9 方程y″＋by＝0的解的存在性 422

8.10 简化一般方程为特殊方程y″＋by＝0 423

8.11 方程y″＋by＝0的唯一性定理 424

8.12 方程y″＋by＝0的完整解 426

8.13 方程y″＋ay′＋by＝0的完整解 427

8.14 习题 429

8.15 二阶常系数非齐次线性方程 430

8.16 确定非齐次方程y″＋ay′＋by＝R特解的特殊方法 434

8.17 习题 436

8.18 导出常系数二阶线性方程的物理问题的例子 437

8.19 习题 443

8.20 关于非线性微分方程的评注 444

8.21 积分曲线和方向场 446

8.22 习题 450

8.23 一阶可分离方程 450

8.24 习题 453

8.25 齐次一阶方程 453

8.26 习题 457

8.27 导出一阶方程的一些几何问题和物理问题 457

8.28 复习杂题 462

习题答案 466