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第一章 离散过程 1

1 一个例子 1

2 二阶常微分方程 4

3 二维Poisson方程 22

4 平面弹性问题 38

5 空间弹性问题 55

6 用有限元法解题的具体步骤 63

第二章 插值与基函数 66

1 一维情形 67

1.1 线性插值(Lagrange型)与长度坐标 67

1.2 高次Lagrange型插值 71

1.3 三次Hermite型插值 73

2 二维情形(三角形剖分) 75

2.1 线性插值(Lagrange型)与面积坐标 77

2.2 高次Lagrange型插值 81

2.3 Hermite型插值 92

2.4 其它形式的插值 105

3 二维情形(矩形剖分) 113

3.1 Lagrange型插值 113

3.2 Hermite型插值 119

4 任意四边形剖分与等参数单元 124

5 三维情形 129

5.1 四面体剖分 129

5.2 六面体剖分与等参数单元 130

6 小结 133

第三章 理论基础 135

1 泛函分析和Соболев空间的预备知识 136

1.1 线性空间 136

1.2 Hilbert空间 138

1.3 线性算子与线性泛函 142

1.4 直交投影与Riesz表现定理 144

1.5 弱收敛与紧致性 146

1.6 Соболев空间 149

2 椭圆型方程边值问题解的存在性与可微性 159

2.1 变分原理与广义解 159

2.2 适定性 164

2.3 广义解的可微性 175

3 古典变分方法与有限元法 178

3.1 古典Ritz-Galerkin方法 178

3.2 有限元法 183

4 Соболев空间的插值逼近 192

4.1 一维线性插值误差 193

4.2 二维线性插值误差 197

4.3 一般情形的插值误差 203

5 有限元解的收敛性与误差估计 213

5.1 收敛性 214

5.2 能量模估计 215

5.3 L2模估计 216

5.4 连续模估计 217

第四章 板的弯曲问题 220

1 数学模型 220

2 有限元解法 225

3 协调元的误差分析 231

4 非协调元的误差分析 234

第五章 平面弹性动力问题 246

1 变分形式 247

2 半离散化 251

3 富氏方法、特征值与特征向量 257

4 数值积分法与格式的稳定性 266

附录1 线性代数方程组的解法 283

附录2 数值积分 296

附录3 表达式(5.22)-(5.24)的证明 301