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第一章 复数和复变函数 1

1 复数的代数运算和共轭运算 1

1.1 复数的概念 1

1.2 复数的代数运算 1

1.3 复数的共轭运算 3

2 复数的几何表示法 5

2.1 复数的点表示法 5

2.2 复数的极坐标表示法 6

2.3 复数的向量表示法 9

2.4 无穷远点和复数的球面表示法 11

3 方根和曲线的复数方程 13

3.1 模与幅角的运算 13

3.2 方根 18

3.3 曲线的复数方程 19

4 复变函数 24

4.1 函数的定义 24

4.2 函数的表示法 25

4.3 函数的定义域 25

4.4 复变函数的几何表示——映射 28

4.5 反函数和逆映射的概念 32

5 函数的极限与连续性 37

5.1 函数的极限 37

5.2 函数的连续性 37

5.3 连续函数的基本性质 39

第二章 解析函数 42

1 可微函数 42

1.1 可微函数的定义及其判别定理 42

1.2 微商的运算法则 48

1.3 微商的几何意义 48

2 解析函数 52

2.1 解析函数的定义 52

2.2 解析函数的运算法则 55

2.3 解析函数的判别定理 56

2.4 解析函数与调和函数 59

3 初等函数 63

3.1 指数函数 63

3.2 三角函数 64

3.3 双曲函数 66

3.4 根式函数 67

3.5 对数函数 77

4 平面场与解析函数 81

4.1 复变函数与平面场 81

4.2 流量与环量 82

4.3 无源无汇无旋的平面流速场 84

4.4 势函数和流函数 84

4.5 平面流速场的复势 85

第三章 复变函数的积分 91

1 积分的定义和计算公式 91

1.1 一些规定 91

1.2 积分的定义 92

1.3 复积分与实函数的曲线积分 93

1.4 复积分的计算公式 94

1.5 复积分的基本性质 95

2 柯西积分定理 100

2.1 单连通区域上的柯西积分定理 100

2.2 复积分的牛顿-莱布尼茨公式 101

2.3 复连通域上的柯西积分定理 104

3 柯西积分公式和微商公式 109

3.1 解析函数的积分表达式 109

3.2 解析函数的无穷次可微性质 113

3.3 柯西型积分及其性质 116

4 解析函数的一些重要性质 120

4.1 平均值定理与最大模原理 120

4.2 柯西不等式 123

4.3 刘维尔定理与代数基本定理 124

5 解析函数的等价条件 127

5.1 柯西积分定理的推广 127

5.2 柯西积分定理的逆定理 127

5.3 解析函数的等价条件 128

第四章 解析函数的幂级数表示 129

1 复数值级数 129

1.1 收敛、发散概念 129

1.2 收敛判别法 130

2 复函数级数 137

2.1 收敛域的概念和逐点收敛准则 137

2.2 一致收敛的概念及其判别法 139

2.3 和函数的性质 142

3 幂级数 147

3.1 幂级数的敛散性质 147

3.2 收敛域的结构和求法 148

3.3 和数的性质 149

4 解析函数的泰勒展开及其应用 150

4.1 泰勒展开定理 150

4.2 内部唯一性定理 156

4.3 解析函数在零点附近的性质 159

5 解析函数的罗朗展开 164

5.1 罗朗级数和它的收敛域 164

5.2 环上解析函数的罗朗展开 166

6 解析函数的孤立奇点 174

6.1 孤立奇点与非孤立奇点 174

6.2 孤立奇点的分类 175

6.3 孤立奇点的类型判别 177

6.4 无穷远孤立奇点 182

第五章 留数理论及其应用 187

1 留数基本定理 187

1.1 留数的定义和留数基本定理 187

1.2 留数的计算方法 188

1.3 函数在无穷远点的留数 192

2 留数定理在积分计算上的应用 198

2.1 在自变量变换下，可化为围道积分的积分 198

2.2 化定积分为围道积分的封闭化方法 201

2.3 在封闭化方法下，可化为围道积分的积分 206

3 儒歇定理及其应用 219

3.1 对数留数定理和儒歇定理 219

3.2 幅角原理 224

3.3 解析映射的保域性质 226

第六章 保形映射 230

1 解析映射的一般性质 230

1.1 映射的基本概念 230

1.2 解析映射的一般性质 231

2 分式线性映射 236

2.1 特殊型的分式线性映射 236

2.2 分式线性映射的保形性 239

2.3 三对对应点唯一决定一分式线性映射 242

2.4 分式线性映射的保圆性 244

2.5 分式线性映射把对称点变为对称点 244

2.6 分式线性映射的应用例子 246

3 初等函数构成的保形映射 249

3.1 角域到角域的映射 249

3.2 带域到角域的映射 253

4 儒科夫斯基映射 257

4.1 儒科夫斯基映射 257

4.2 儒科夫斯基映射的逆映射 261

4.3 机翼剖面外部区域到圆外部的保形映射 262

4.4 圆柱绕流问题 266

答案与提示 269