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第一部分 复变函数论及其应用 1

第一章 复数的基本概念 1

1.1 复数及其运算规则 1

1.2 复数的几何表示 2

1.3 复数序列·极限的概念 5

1.4 无穷远点 7

第二章 解析函数 9

2.1 复变函数·区域的概念·连续和一致连续 9

2.2 导数 11

2.3 解析函数·科希-里曼(Oauchy-Riemann)条件 12

2.4 解析函数与调和函数的关系 15

第三章 初等函数 17

3.1 幂函数 17

3.2 指数函数 17

3.3 三角函数和双曲线函数 18

3.4 多值函数·根式？ 19

3.5 对数函数 26

3.6 多值函数w=arc sinz 28

3.7 函数z?(?为任意复数) 30

第四章 复数积分·科希定理和科希积分公式 32

4.1 复数积分 32

4.2 复数积分的几个重要性质 33

4.3 科希(Oauchy)定理 34

4.4 不定积分·原函数 38

4.5 科希积分公式 41

4.6 科希积分公式的几个重要推论 45

4.7 解析函数的实部和虚部的关系 47

4.8 科希型积分 50

第五章 无穷级数 52

5.1 复数级数 52

5.2 函数级数·外氏(Weierstrass)定理 56

5.3 幂级数·阿贝耳(Abel)第一定理 61

5.4 幂级数所代表的函数的解析性 65

5.5 阿贝耳第二定理 67

第六章 泰勒展开和洛浪展开 71

6.1 解析函数的泰勒(Taylor)展开 71

6.2 多值函数的泰勒展开 76

6.3 在无穷远点领域内的泰勒展开 78

6.4 洛浪(Laurent)展开 79

6.5 洛浪展开的例子 83

第七章 单值函数的孤立寄点 87

7.1 孤立奇点的分类 87

7.2 可去奇点 88

7.3 极点 89

7.4 本性奇点 91

7.5 无穷远点 92

第八章 残数理论及其应用 94

8.1 残数定理 94

8.2 计算残数的公式 96

8.3 应用残数理论计算定积分 98

8.4 无穷积分 100

8.5 含三角函数的无穷积分·约当(Jordan)引理 102

8.6 实轴上有奇点的情形·积分主值 106

8.7 多值函数的积分 108

8.8 其他例子 111

8.9 关于零点和极点的个数的定理 118

第九章 含参数的积分·Γ函数和B函数 120

9.1 解析开拓的一个例子 120

9.2 解析开拓 121

9.3 含参数的定积分所表示的函数的解析性 122

9.4 Γ函数(第二类欧勒积分) 125

9.5 Γ函数的围道积分表示 132

9.6 Γ函数的渐近表示·斯特令(Stirling)公式 134

9.7 B函数(第一类欧勒积分) 136

第十章 拉普拉斯变换 139

10.1 拉氏变换 139

10.2 拉氏变换的基本性质 141

10.3 拉氏换式的运算性质及其在解线性常微分方程初值问题中的应用 142

10.4 像函数的导数和积分的反演 146

10.5 折积定理 149

10.6 傅里叶(Fourier)积分 151

10.7 拉氏变换的普遍反演公式 155

10.8 应用残数理论求反演 156

10.9 δ函数 160

10.10 δ函数的傅氏换式和拉氏换式 163

第十一章 线性常微分方程的级数解法和积分解法 166

11.1 二阶线性常微分方程的奇点 166

11.2 方程常点领域内的解 166

11.3 方程奇点领域内的解·正则解和正则奇点 169

11.4 求正则解的例子·贝塞耳(Bessel)方程 176

11.5 非正则奇点领域内的正则解 184

11.6 常规解和次常规解 186

11.7 积分解法·拉普拉斯(Laplace)型方程 190

11.8 勒让德方程的积分解·欧勒变换 194

第二部分 数学物理方程 198

第十二章 方程的导出和定解问题 198

12.1 方程的来源 198

12.2 杆的纵振动和弦的横振动 199

12.3 热传导方程 202

12.4 电报方程(传输线方程) 205

12.5 边界条件和初值条件 207

12.6 定解问题 212

第十三章 分离变数法 213

13.1 弦的自由振动 213

13.2 解的诠释 218

13.3 两端固定的弦的强迫振动 221

13.4 非齐次边界条件·第一边值问题 223

第十四章 正交曲面坐标系中方程的变数分离 226

14.1 坐标系的选择 226

14.2 正交曲坐标系中的梯度、散度、旋度和拉氏算符 226

14.3 球坐标系和柱坐标系中方程？2u+λu=0的变数分离 232

14.4 圆内的狄里希累(Dirichlet)问题 235

第十五章 常微分方程的本征值问题 240

15.1 二阶线性常微分方程的本征值问题 240

15.2 斯特姆-刘维(Sturm-Liouville)型方程的本征值问题 246

15.3 用正交函数组展开 250

第十六章 特殊函数及其应用(一)·勒让德函数 253

16.1 勒让德方程的本征值问题·有界条件 勒让德多项式 253

16.2 勒让德多项式的微分表示--罗巨格(Rodrigues)公式 258

16.3 Pι(x)的正交性和归一因子 258

16.4 Pι(x)的完备性 262

16.5 应用举例--均匀电场中的导体球 264

16.6 Pι(x)的生成函数 268

16.7 应用举例 270

16.8 Pι(x)的递推关系 276

16.9 连带勒让德函数 278

16.10 P？(x)的正交归一关系 280

16.11 P？(x)(m>0) 281

16.12 P？(x)的递推关系 282

16.13 加法公式 283

16.14 公式表 285

第十七章 特殊函数及其应用(二)·贝塞耳函数 289

17.1 贝塞耳(Bessel)函数Jn(x) 289

17.2 Jn(x)的振荡特性·Jn(x)的零点 290

17.3 贝塞耳函数的递推关系 293

17.4 Jn(x)的生成函数和积分表达式 294

17.5 加法公式 296

17.6 贝塞耳方程的本征值问题 297

17.7 应用举例--圆柱体的冷却 300

17.8 第二类贝塞耳函数Yv(x) 303

17.9 应用举例--空心圆柱体的径向振动 307

17.10 最陡下降法 308

17.11 贝塞耳函数的渐近表达式 312

17.12 第三类贝塞耳函数H？(x),H?(x)·柱函数 313

17.13 应用举例--电磁波在金属圆柱表面上的散射 315

17.14 半奇数阶贝塞耳函数 317

17.15 球贝塞耳函数jι(x),nι(x),h?(x),h?(x) 318

17.16 eikrcosθ用勒让德多项式展开 320

17.17 变型(或虚宗量)贝塞耳函数 321

17.18 应用举例--有限长圆柱全内的稳定温度场 324

17.19 可化为贝塞耳方程的微分方程 327

17.20 含贝塞耳函数的积分 327

17.21 公式表 329

第十八章 格临函数 336

18.1 引言 336

18.2 拉氏算符的格临函数 336

18.3 格临函数的对称性 342

18.4 广义格临函数 343

18.5 无区域的格临函数·基本解 347

18.6 用正交函数组展开求格临函数 350

18.7 用电像法求格临函数 355

18.8 初值问题的格临函数·波动方程的推迟解·无初值问题 358

第十九章 积分变换的应用 366

19.1 应用拉氏变换于热传导问题 366

19.2 应用积分变换解边值(初值)问题的普遍原理 371

19.3 汉克耳(Hankel)变换 373

第二十章 保角变换原理及其应用 377

20.1 拉氏算符的变换 377

20.2 解析函数的几何性质 380

20.3 几种最简单的保角变换·线性变换 382

20.4 分式线性变换 384

20.5 分式线性变换下圆的特性·反演点对 385

20.6 应用举例 388

20.7 变换ζ=zn 391

20.8 变换ζ=lnz 393

20.9 多边形的变换(席伐尔兹变换) 394

20.10 特殊情形下求A和ζi的公式 398

20.11 应用举例--平行板边缘的电场 401

20.12 把多边形外部变为上半平面的变换 404

20.13 应用举例--儒可夫斯基变换 405

第二十一章 二阶线性偏微分方程分类 408

21.1 二阶线性偏微分方程分类·两个自变数的情形 408

21.2 多个自变数的情形 412

21.3 定解问题·一维波动方程的达朗伯解 415

21.4 热传导方程和泊松方程的解的唯一性 418

第二十二章 波动方程的几个特殊解法 422

22.1 平均值方法·泊松公式 422

22.2 柱面波·降维法 426

22.3 里曼方法 428

22.4 例 432

第二十三章 变分法及其应用 434

23.1 泛函和泛函的极值问题 434

23.2 泛函极值的必要条件·欧勒方程 436

23.3 几个自变数的情形·重积分所表示的泛函的极值问题 439

23.4 泛函的条件极值问题 441

23.5 测地线问题 444

23.6 泛函的变分·泛函的导数 446

23.7 变端点问题·自然边界条件 448

23.8 应用于本征值问题 449

23.9 高阶本征值和本征函数 452

23.10 应用于边值问题 455

23.11 里兹(Ritz)方法 457

23.12 应用举例--圆形薄膜横振动的本征频率 459

索引 463

外国人名对照索引 467

符号索引 468