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第一章 抛物型方程的差分方法 1

1.1 抛物型方程的定解问题 1

1.2 几个古典差分格式的建立和定解条件的处理 2

1.2.1 网格部分 2

1.2.2 几个古典差分格式 3

1.2.3 定解条件的处理 7

1.3 差分格式的相容性、稳定性与收敛性 9

1.3.1 差分格式的相容性 9

1.3.2 差分格式的稳定性 10

1.3.3 差分格式的收敛性 18

1.4 研究稳定性的分离变量法 20

1.4.1 分离变量法的一般讨论 21

1.4.2 对差分方程组的应用 25

1.5 几个无条件稳定的差分格式 29

1.5.1 Crank—Nicholson 格式 29

1.5.2 Du Fort—Frankel 格式 30

1.5.3 三层隐式格式 34

1.5.4 交替显隐格式 36

1.6 建立差分格式的其他方法 39

1.6.1 待定系数法 39

1.6.2 算子方法 41

1.6.3 积分插值法 49

1.7 解二维问题的分裂法 54

1.7.1 分离变量法对多个空间变量的应用 54

1.7.2 分裂算法的基本思想 57

1.7.3 P—R(Peaceman—Rachford)格式 57

1.7.4 Douglas 格式 58

1.7.5 Yanenko 格式 59

1.7.6 局部一维格式 60

1.8 解非线性抛物型方程的差分方法 62

习题 64

第二章 双曲型方程的差分方法 68

2.1 一阶线性常系数双曲型方程的差分方法 68

2.1.1 一阶常系数方程初值问题 68

2.1.2 迎风格式 70

2.1.3 Lax—Friedrichs 格式 72

2.1.4 跳蛙(Leap—frog)格式 73

2.1.5 Lax—Wendroff 格式 75

2.1.6 隐式格式 78

2.1.7 利用特征线构造差分格式 79

2.2 一阶常系数双曲型方程组的差分法 81

2.2.1 Lax—Friedrichs 格式 81

2.2.2 Lax—Wendroff 格式 82

2.2.3 迎风格式 83

2.3 一阶变系数双曲型方程及方程组的差分方法 85

2.3.1 一阶变系数双曲型方程 85

2.3.2 一阶变系数双曲型方程组 86

2.4 二阶线性双曲型方程的差分方法 88

2.4.1 一维波动方程 88

2.4.2 二维波动方程 97

2.5 一阶拟线性双曲型方程组的特征线法 102

2.5.1 一阶线性双曲型方程的特征线法 102

2.5.2 一阶拟线性双曲型方程的特征线法 104

2.5.3 一阶拟线性双曲型方程组的特征线法 105

习题 115

第三章 椭圆型方程的差分方法 117

3.1 矩形网的差分格式 117

3.1.1 椭圆型方程的定解问题 117

3.1.2 网格剖分 118

3.1.3 五点差分格式 119

3.1.4 九点差分格式 120

3.2 三角网的差分格式 124

3.3 极坐标系网的差分格式 126

3.4 边界条件的处理 128

3.4.1 矩形区域 128

3.4.2 一般区域 129

3.5.1 差分方程的一般形式 131

3.5 极值原理与差分格式的收敛性 131

3.5.2 极值原理及差分格式之解的先验估计 132

3.5.3 五点格式的敛速估计 136

3.6 变系数方程 138

3.7 双调和方程 140

习题 142

第四章 变分原理 145

4.1 一维变分问题 145

4.1.1 一个简单的变分问题 145

4.1.2 变分法简介 147

4.1.3 两点边值问题及其等价的变分问题 151

4.1.4 Sobolev 空间中的一维变分问题 155

4.2.1 薄膜平衡 164

4.2 二维变分问题 164

4.2.2 二维边值问题的变分形式 168

4.2.3 Sobolev 空间中的二维变分问题 173

4.3 Ritz—Galerkin 方法 176

习题 182

第五章 有限元方法 184

5.1 解一维问题的线性元 185

5.2 解二维问题的三角形线性元 192

5.2.1 三角形剖分 192

5.2.2 面积坐标及其性质 194

5.2.3 三角形线性元的基函数 197

5.2.4 有限元方程及其计算公式 198

5.2.5 举例 202

5.3 解二维问题的四边形双线性元 205

5.4 高次元 210

5.4.1 一维高次元 210

5.4.2 二维三角形高次元 214

5.4.3 二维矩形高次元 217

5.5 抛物型方程的有限元方法 219

习题 224

第六章 有限元解的误差估计 226

6.1 Ritz—Galerkin 解的一个逼近性质 226

6.2 一维线性元的误差估计 228

6.2.1 H1范数的估计 228

6.2.2 L2范数的估计 231

6.3 二维三角线性元的误差估计 233

习题 237

主要参考书目 238