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第一章 内积空间与矩阵的Jordan标准形 1

第一节 线性空间及线性变换概述 1

一、线性空间 1

二、线性变换 5

第二节 内积空间 14

一、Euclid空间的基本概念 14

二、欧氏空间中向量的长度及两向量的夹角 16

三、欧氏空间中内积与基底的关系 18

四、正交矩阵与正交变换 19

五、酉空间 26

六、酉空间中内积与基底的关系 28

第三节 矩阵的Jordan标准形 29

一、λ-矩阵 30

二、行列式因子、不变因子和初等因子 33

三、Jordan标准形 42

四、把A变成J的相似变换矩阵P 44

习题一 49

第一节 多项式 52

第二章 矩阵多项式 52

第二节 矩阵多项式 53

第三节 矩阵的最小多项式 57

习题二 62

第三章 矩阵分析 63

第一节 向量和矩阵的极限 63

一、向量的极限 63

二、矩阵序列的极限 65

三、矩阵级数 67

四、函数矩阵 68

第二节 函数矩阵的微分和积分 69

一、函数矩阵的微分和积分 69

二、纯量函数关于矩阵的微分 75

三、向量函数关于向量的微分 80

第三节 向量和矩阵的范数 85

一、向量的范数(norm) 85

二、矩阵的范数 92

第四节 矩阵函数及其性质 99

一、矩阵函数的概念 100

二、矩阵函数的性质 106

三、矩阵函数的基本公式 113

四、矩阵函数的幂级数表示 115

习题三 120

第四章 微分方程的矩阵分析解法 123

第一节 线性微分方程系统的解的结构 123

一、基础解系和Wronskian行列式 123

二、关于线性微分方程解的几个定理 127

一、常系数线性齐次方程 132

第二节 常系数线性微分方程系统(线性非时变系统) 132

二、常系数线性非齐次方程 133

第三节 eAt的计算方法 134

第四节 状态转移矩阵 145

一、状态转移矩阵的性质 145

二、利用状态转移矩阵求解非齐次矩阵微分方程 148

第五节 变系数线性矩阵微分方程(线性时变系统) 150

一、齐次矩阵微分方程的解 151

二、非齐次矩阵微分方程的解 154

第六节 矩阵Riccati方程 155

习题四 161

第五章 广义逆矩阵及其应用 163

第一节 广义逆矩阵A-的概念 164

一、满秩长矩阵的右逆和左逆 164

二、广义逆矩阵A-的定义及其一般表达式 169

三、广义逆矩阵A-的性质 173

四、广义逆矩阵A-的计算方法 175

一、相容线性方程组的一般解 189

第二节 应用广义逆A-解线性方程组 189

二、相容线性方程组的最小范数解 192

三、不相容方程组的最小二乘解 196

第三节 Moore-Penrose广义逆A+ 200

一、广义逆A+的定义与性质 200

二、广义逆A+的计算 203

第四节 应用广义逆矩阵解各种矩阵方程 210

习题五 219

习题答案 221

参考文献 227