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微积分与数学软件简介——代绪论 1

第一章 函数 12

1.1 函数及其图形 12

1.1.1 函数概念 12

1.1.2 函数的图形 17

1.1.3 函数的表示法 20

1.1.4 分段函数 21

1.1.5 函数的几种特性 25

习题1.1 30

1.2 函数运算和图形变换 32

1.2.1 函数四则运算 32

1.2.2 函数的复合运算 34

1.2.3 反函数 37

1.2.4 初等函数 42

1.2.5 双曲函数相反双曲函数 50

1.2.6 函数图形变换 53

习题1.2 58

1.3 演示与实验(计算机函数作图) 60

习题1.3 70

总习题一 71

第二章 极限 73

2.1 函数的极限 73

2.1.1 函数极限的定义 73

2.1.2 单侧极限 86

2.1.3 自变量趋向无穷时的函数极限 89

2.1.4 无穷小量与无穷大量 93

习题2.1 96

2.2 极限的性质 98

2.2.1 无穷小量的性质 98

2.2.2 极限运算性质 100

2.2.3 夹逼定理和两个重要极限 110

2.2.4 无穷小的比较及应用 116

习题2.2 120

2.3 函数的连续性 123

2.3.1 函数连续性的定义 124

2.3.2 函数的间断点 127

2.3.3 连续函数的运算 129

2.3.4 初等函数的连续性 133

2.3.5 闭区间上的连续函数的性质 134

习题2.3 139

2.4 演示与实验(极限概念.极限计算) 141

习题2.4 146

总习题二 147

第三章 导数 150

3.1 导数概念 150

3.1.1 导数的定义 150

3.1.2 导函数、函数求导举例 156

3.1.3 可导与连续的关系.可导的充分必要条件.不可导举例 162

习题3.1 167

3.2 函数的和、差、积、商的求导法则 170

习题3.2 176

3.3 反函数的导数.复合函数求导的链式法则 178

3.3.1 反函数的导数 178

3.3.2 链式法则 182

3.3.3 双曲函数与反双曲函数的导数 187

习题3.3 188

3.4 隐式求导法.参数方程表示函数的导数.极坐标表示曲线的切线 191

3.4.1 隐式求导法 191

3.4.2 参数方程表示函数的导数 197

3.4.3 极坐标表示曲线的切线 202

习题3.4 205

3.5 高阶导数 208

习题3.5 213

3.6 变化率问题举例 216

3.6.1 自然科学和社会科学中的变化率问题 216

3.6.2 相关变化率 224

习题3.6 229

3.7 微分 线性近似 232

3.7.1 微分 232

3.7.2 线性近似 237

习题3.7 239

3.8 牛顿法 241

习题3.8 248

3.9 演示与实验(导数概念、牛顿法、导数计算) 250

习题3.9 255

总习题三 256

第四章 中值定理和导数的应用 262

4.1 微分中值定理 262

4.1.1 费马定理 262

4.1.2 罗尔中值定理 264

4.1.3 拉格朗日中值定理 266

4.1.4 柯西中值定理 269

习题4.1 271

4.2 泰勒公式 272

4.2.1 泰勒公式 272

4.2.2 几个常用函数的麦克劳林公式 276

习题4.2 279

4.3.1 关于0/0型不定式的洛必达法则 280

4.3 洛必达法则 280

4.3.2 关于∞/∞型不定式的洛必达法则 282

4.3.3 若干例子 283

4.3.4 其他类型的不定式 286

习题4.3 288

4.4 函数的单调性及其判别法 289

习题4.4 293

4.5 函数的极值和最值 294

习题4.5 299

4.6 函数的凸性和曲线的拐点.渐近线 300

4.6.1 函数的凸性和曲线的拐点 300

4.6.2 渐近线 304

习题4.6 307

4.7 函数图形的描绘 309

习题4.7 315

4.8 最大最小值的应用问题 315

4.8.1 经济学中的最大最小值问题 316

4.8.2 其他应用问题 320

习题4.8 323

4.9 平面曲线的曲率 327

4.9.1 弧微分 327

4.9.2 曲率及其计算公式 328

4.9.3 曲率半径，曲率圆 332

习题4.9 335

4.10 演示与实验(泰勒公式——函数的多项式逼近，利用导数知识控制计算机作图) 336

习题4.10 342

总习题四 343

第五章 积分 348

5.1 定积分概念 348

5.1.1 引例 348

5.1.2 定积分的定义 353

5.1.3 定积分的基本性质 359

习题5.1 365

5.2 微积分基本定理 367

5.2.1 微积分第一基本定理 368

5.2.2 原函数和不定积分 372

5.2.3 微积分第二基本定理 376

习题5.2 381

5.3 基本积分法 383

5.3.1 第一类换元法 384

5.3.2 第二类换元法 391

5.3.3 分部积分法 397

5.3.4 几种特殊类型函数的积分 403

5.3.5 数值积分法 412

习题5.3 422

5.4 广义积分 428

5.4.1 无穷区间上的广义积分 428

5.4.2 无界函数的广义积分 432

5.4.3 广义积分的比较审敛法 435

习题5.4 436

5.5 演示与实验(定积分概念、原函数概念、积分计算与数值积分) 437

习题5.5 445

总习题五 446

第六章 定积分的应用 450

6.1 平面图形的面积 450

习题6.1 457

6.2 体积 459

6.2.1 平行截面面积为已知的立体的体积 459

6.2.2 旋转体的体积 461

习题6.2 468

6.3 平面曲线的弧长 471

习题6.3 478

6.4 旋转曲面的表面积 479

习题6.4 482

6.5 函数平均值 483

习题6.5 486

6.6 物理应用 487

6.6.1 功 487

6.6.2 液体的静压力 492

6.6.3 静力矩和重心 495

习题6.6 503

6.7 其他应用举例 507

6.7.1 消费者盈余 507

6.7.2 连续复利现金流的现值 508

6.7.3 人体血液流量的计算 509

6.7.4 人体心脏输出的血液量的测量 510

习题6.7 511

6.8 演示与实验(落针问题、旋转体体积) 512

习题6.8 515

总习题六 516

第七章 微分方程 525

7.1 微分方程的基本概念 525

习题7.1 528

7.2 一阶微分方程 529

7.2.1 变量可分离的微分方程 529

7.2.2 齐次微分方程 534

7.2.3 一阶线性方程 535

7.2.4 伯努利方程 538

7.2.5 欧拉法 540

习题7.2 544

7.3 高阶微分方程的降阶法 546

习题7.3 554

7.4 线性微分方程解的结构 554

7.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构 555

7.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构 557

7.4.3 常数变易法 558

习题7.4 560

7.5 二阶常系数线性微分方程 561

7.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程 561

7.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 565

7.5.3 欧拉方程 570

习题7.5 573

7.6 二阶线性微分方程应用问题举例 574

7.6.1 弹簧振动问题 574

7.6.2 R-L-C 串联电路问题 579

习题7.6 581

7.7 演示与实际(解微分方程，一阶微分方程数值解——欧拉法) 582

习题7.7 587

总习题七 588

微积分应用课题 591

附录1 数学软件 Mathematica 简介 596

附录2 本书所配磁盘的使用方法 613

附录3 微积分应用课题解答选录 620

习题答案 628