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第一章 引言和预备知识 1

1.1 几类实际问题 1

1.项链问题 1

2.分子结构的计数问题 2

3.正多面体着色问题 3

4.图的构造与计数问题 3

5.开关线路的构造与计数问题 5

6.数字通信的可靠性问题 6

7.几何作图问题 7

8.代数方程根式求解问题 8

习题1.1 8

1.2 集合与映射 9

1.集合的记号 9

2.子集与幂集 9

3.子集的运算 10

4.包含与排斥原理 11

5.映射的概念 13

6.映射的分类 14

7.映射的复合 17

8.映射的逆 18

习题1.2 19

1.3 二元关系 20

1.集合的笛卡儿积 20

2.二元关系 21

3.等价关系和等价类 22

4.偏序和全序 25

习题1.3 27

1.4 整数与同余方程 28

1.整数的运算 29

2.最大公因子和最小公倍数 29

3.互素 31

4.同余方程及孙子定理 32

习题1.4 36

第二章 群论 38

2.1 基本概念 38

1.群和半群 38

2.关于单位元的性质 40

4.群的几个等价性质 41

3.关于逆元的性质 41

习题2.1 46

2.2 子群 47

1.子群 47

2.元素的阶 50

习题2.2 52

2.3 循环群和生成群 53

1.循环群和生成群 53

2.群的同构 55

3.循环群的性质 56

习题2.3 58

2.4 变换群和置换群 60

1.置换群 60

2.Cayley定理 66

习题2.4 67

2.5 子群的陪集和Lagrange定理 68

1.子群的陪集 68

2.子群的指数和Lagrange定理 69

习题2.5 72

1.正规子群的概念 73

2.6 正规子群和商群 73

2.正规子群的性质 74

3.商群 76

4.单群 78

习题2.6 79

2.7 共轭元和共轭子群 80

1.中心和中心化子 80

2.共轭元和共轭类 81

3.共轭子群 83

4.置换群的共轭类 84

习题2.7 88

2.8 群的同态 89

1.群的同态 89

2.同态基本定理 90

3.有关同态的定理 93

4.自同态与自同构 96

习题2.8 98

2.9 群对集合的作用，Burnside引理 99

1.群对集合的作用 99

2.轨道 100

3.稳定子群 101

4.Burnside引理 103

习题2.9 105

2.10 应用举例 106

1.项链问题 106

2.分子结构的计数问题 110

3.正多面体着色问题 112

4.开关线路的计数问题 113

5.图的计数问题 115

习题2.10 118

2.11 群的直积和有限可换群 118

1.群的直积 118

2.有限可换群的结构 119

习题2.11 123

第三章 环论 124

3.1 环的定义和基本性质 124

1.环的定义 124

2.环内一些特殊元素和性质 127

3.环的分类 128

习题3.1 131

3.2 子环、理想和商环 132

1.子环和理想 132

2.生成子环和生成理想 135

3.商环 135

习题3.2 138

3.3 环的同构与同态 139

1.环的同构与同态 139

2.有关同态的一些定理 140

3.分式域 143

习题3.3 144

3.4 整环中的因子分解 145

1.一些基本概念 145

2.既约元和素元 146

3.最大公因子 147

习题3.4 149

3.5 唯五分解整环 149

1.唯一分解整环及其性质 150

2.主理想整环 152

3.欧氏环 154

习题3.5 156

3.6 多项式环 156

1.本原多项式及其性质 156

2.D［x］的分解性质 158

3.多项式的可约性判断 160

习题3.6 163

3.7 应用举例 164

1.编码问题 164

2.多项式编码方法及其实现 165

习题3.7 170

第四章 域论 171

4.1 域和域的扩张，几何作图问题 171

1.素域和域的特征 171

2.扩张次数，代数元和超越元 173

3.代数扩张与有限扩张 175

4.几何作图问题 176

习题4.1 180

4.2 分裂域，代数基本定理 181

1.分裂域 181

2.代数基本定理 185

习题4.2 186

4.3 有限域，有限几何 187

1.有限域的构造及唯一性 187

2.有限域的元素的性质 189

3.有限域上的多项式的根 190

4.有限域的子域 191

5.有限几何 193

习题4.3 193

4.4 单位根，分圆问题 194

2.分圆问题 195

1.单位根 195

习题4.4 198

附录Ⅰ 其它代数系简介 199

一、格的概念与例 199

二、模的概念及例 200

习题 201

附录Ⅱ 习题提示与答案 202

参考文献 221

名词与符号索引 222