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第1章 实数系 1

1 集合 1

集合概念 1

集合运算 3

数学归纳法 7

2 映射 9

映射概念 9

有限集与无限集 12

3 实数系：发生法 14

自然数系 N 14

有理数系 Q 15

实数连续统 R 16

4 实数系：公理法 17

代数结构 17

次序结构 18

上(下)确界公设 19

5 实数系：几何表示 24

坐标 24

绝对值 25

不等式 26

笛卡儿乘积 29

第2章 数列极限 32

1 数列 32

数列概念 32

2 无穷小量 33

ε-N 定义 33

无穷小量运算 36

3 数列的收敛性 39

极限概念 39

收敛数列的性质 41

收敛数列的运算 44

4 单调有界数列 48

单调性 48

极限与上(下)确界 49

数 e 53

5 实数系的两个基本定理 55

嵌套区间定理 55

波尔查诺-韦尔斯特拉斯定理 57

6 待定型的极限 59

无穷大量 59

施托尔茨定理 62

算术平均收敛 64

第3章 连续函数 67

1 一元函数 67

函数概念 67

代数函数 69

分段线性函数 72

2 函数极限 75

ε-δ 定义 75

函数极限的性质 78

函数极限的运算 83

单侧极限 85

负数在无限远点的极限 85

函数值趋于无限的渐近性态 88

斜渐近线 90

3 函数的连续性 95

函数在一点连续的定义 95

不连续点类型 97

连续函数的运算 99

复合函数的连续性 100

4 闭区间上连续函数的性质 105

有界性定理 105

最大(小)值定理 106

零点定理 108

中间值定理 109

一致连续性 109

康托尔定理 113

5 反函数 114

严格单调性 114

反函数 116

反函数连续性定理 118

第4章 导数及微分 123

1 等价无穷小量 123

无穷小量的阶 123

四个等价无穷小量关系 125

2 导数 127

变化率 127

导数定义 131

若干初等函数求导 133

3 求导规则 138

导数的运算 138

反函数的导数 142

复合函数求导的链式规则 145

初等函数的导函数表 149

4 微分 153

可微性 153

微分公式 155

不可微情况 157

一阶微分的形式不变性 160

隐式微分法 161

5 高阶导数与高阶微分 168

高阶导数 168

莱布尼茨公式 171

高阶微分 176

第5章 黎曼积分 181

1 阶梯函数的积分 181

矩形面积 181

阶梯函数 181

积分的运算及性质 183

2 上积分与下积分 186

上(下)阶梯函数 186

上(下)和的性质 187

黎曼积分定义 189

3 可积函数类 190

可积的充分必要条件 190

连续函数类 193

单调函数类 194

黎曼函数和狄利克雷函数两例 196

4 黎曼和的极限 198

达尔布定理 198

积分两种定义的等价性 200

5 积分的基本定理 203

施瓦茨不等式 205

第一中值定理 207

原函数 208

微积分基本定理 210

6 不定积分 215

原函数族 215

分部积分法 218

换元法 220

7 反常积分 226

无限区间上的积分 227

绝对收敛性 229

无界函数的积分 234

柯西主值 237

8 面积与若干极限的计算 241

平面区域的面积 241

若干数列极限 247

第6章 数项级数 250

1 实数系的基本定理(续) 250

紧集 250

海涅-波莱尔定理 251

基本序列 253

柯西收敛准则 255

2 无穷级数的收敛性 259

部分和序列 259

无穷级数的基本性质 261

3 上极限与下极限 267

子列极限的最大(小)值 270

4 正项级数 273

收敛性的比较原理 274

柯西判别法 277

达朗贝尔判别法 279

积分判别法 283

5 一般的数项级数 287

绝对收敛性 287

交错级数，莱布尼茨型级数 288

阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 290

6 绝对收敛级数的运算 296

级数分解 296

级数更序 298

级数相乘，柯西定理 301

7 无穷乘积 307

无穷乘积的收敛性 307

无穷乘积与无穷级数 311

8 反常积分的收敛性 316

积分第二中值定理 316

阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 319

反常积分与无穷级数 325