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卷Ⅰ 数学中的归纳与类比 3

第一章 归纳法 3

1. 经验和观念 4

2. 提示的吻合 4

3. 印证 6

4. 归纳的态度 9

第一章的习题与评注 10

第二章 普遍化、特殊化、类比 14

1. 普遍化、特殊化、类比和归纳法 14

2. 普遍化 14

3. 特殊化 15

4. 类比 15

5. 普遍化、特殊化和类比 18

6. 借助类比的发现 21

7. 类比和归纳法 26

第二章的习题与评注 27

第一部分 27

第二部分 37

第三章 立体几何中的归纳法 44

1. 多面体 44

2. 第一个印证 47

3. 再印证 48

4. 严格的试验 49

5. 两种印证 51

6. 非常特殊的例子 52

7. 类比 53

8. 空间的分割 55

9. 问题的变形 56

10. 普遍化、特殊化、类比 56

11. 一个类似的问题 57

12. 一组类似问题 59

13. 许多问题有时比只有一个问题更加容易解答 60

14. 猜测 61

15. 预言和印证 62

16. 重新做更好 63

17. 归纳提示演绎；特例提示普遍性证明 64

18. 进一步的推测 66

第三章的习题与评注 67

第四章 数论中的归纳法 77

1. 整数直角三角形 77

2. 平方和 80

3. 关于四个奇平方数之和 82

4. 例题的研究 83

5. 制观察表 84

6. 什么法则？ 86

7. 归纳发现的本质 89

8. 关于归纳论据的本质 89

第四章的习题与评注 93

第五章 归纳法的各种例子 100

1. 展开式 100

2. 近似值 102

3. 极限 105

4. 反驳的尝试 106

5. 证明的尝试 107

6. 归纳阶段的作用 110

第五章的习题与评注 111

第六章 一个更一般的命题 119

1. 欧拉 119

2. 欧拉的备忘录 120

3. 转到较一般的观点 132

4. 欧拉备忘录的概要 133

第六章的习题与评注 135

第七章 数学归纳法 144

1. 归纳阶段 144

2. 证明阶段 147

3. 过渡的探讨 147

4. 数学归纳法的技巧 149

第七章的习题与评注 156

第八章 极大与极小 162

1. 模式 162

2. 例题 163

3. 等值线切线的模式 166

4. 例题 169

5. 部分变动的模式 172

6. 算术和几何平均值定理及其第一推论 175

第八章的习题与评注 177

第一部分 177

第二部分 185

第九章 物理中的数学 191

1. 光学的解释 191

2. 力学的解释 197

3. 新的解释 200

4. 约翰·贝努利发现的捷线 204

5. 阿基米德发现的积分学 208

第九章的习题与评注 213

第十章 等周问题 226

1. 笛卡儿的归纳推理 226

2. 潜在的推理 228

3. 物理的推理 229

4. 瑞利勋爵的归纳推理 230

5. 导出推论 231

6. 印证推论 234

7. 非常接近 239

8. 等周定理的三种形式 242

9. 应用与问题 243

第十章的习题与评注 245

第一部分 245

第二部分 248

第十一章 似真推理的其他形式 256

1. 推测种种 256

2. 根据有关特例所作的结论 259

3. 根据一般情况所作的结论 259

4. 宁可作比较简单的推测 262

5. 背景 265

6. 无穷尽 268

7. 常用的启发式的假设 269

第十一章的习题与评注 271

卷Ⅰ的结束语 284

卷Ⅱ 似真推理的模式 287

卷Ⅱ前言 287

第十二章 若干明显的模式 289

1. 推论的确证 289

2. 若干推论的循序渐进的证明 292

3. 对不可思议的推论的确证 295

4. 根据类比所作的推理 298

5. 类比的深化 300

6. 根据类比所作的渐弱推理 303

第十二章的习题与评注 303

第十三章 进一步的模式和它们之间最重要的联系 312

1. 推论的研究 312

2. 可能的根据之研究 313

3. 相抵触的推测之研究 315

4. 逻辑术语 316

5. 各似真推理模式间的逻辑联系 319

6. 渐弱的推理 320

7. 一览表 322

8. 各种简单模式的组合 323

9. 关于类比推理 326

10. 更加明确的推理 326

11. 关于逐次确证 329

12. 关于对立的推测 330

13. 关于审案的论证方法 333

第十三章的习题与评注 341

第一部分 341

第二部分 348

第十四章 偶然性，始终存在的对立推测 365

1. 随机的大量现象 365

2. 概率的概念 368

3. 袋和球的应用 373

4. 概率演算，统计假设 377

5. 频率的直接预测 379

6. 现象的解释 387

7. 对统计假设的评估 392

8. 在各种统计假设之间的选择 398

9. 对于非统计的推测的评估 408

10. 对于数学假设的评估 425

第十四章的习题与评注 429

第一部分 429

第二部分 431

第十五章 概率演算与似真推理逻辑 445

1. 似真推理的法则 445

2. 证明推理的一种观点 449

3. 似真推理的有关观点 451

4. 对概率演算的一点看法。困难 456

5. 对概率演算的一点看法。尝试 458

6. 推论的研究 460

7. 可能根据的研究 465

8. 互相矛盾的推测的研究 466

9. 若干个连贯推论的研究 468

10. 关于间接罪证 471

第十五章的习题与评注 473

第十六章 在发明与教学中的似真推理 494

1. 本章的主题 494

2. 关于小发现的叙述 495

3. 解题的过程 498

4. Deus ex machina(意外的结果) 500

5. 启发式的证明 502

6. 关于另外一个发现的叙述 504

7. 若干典型的指示 509

8. 发明中的归纳法 511

9. 对教师说几句话 518

第十六章的习题与评注 521

习题解答 534

参考书目 648