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第一章 复数和复变函数 1

1.1 复数概念 1

1 复数及其被认识的历史梗概 2

2 复数的算术运算 3

1.2 复数的几何表示 3

1 复数平面 3

2 复数的极坐标形式 4

3 De Moivre公式和复数的n次方根 6

1.3 扩充的复数平面 8

习题(1.1) 10

1.4 平面点集 11

1 某些平面点集合与定理 11

2 区域 12

1.5 复变函数 15

1 函数概念 15

2 极限概念 18

3 连续性 18

习题(1.2) 22

学习指导 23

2.1 复变函数的微商和解析函数概念 49

1 微商和微分 49

第二章 微商与解析函数 49

2 解析函数概念 52

3 C.-R.条件(方程) 53

4 解析函数的性质 56

5 单叶解析函数及其反函数 59

2.2 解析函数与调和函数的关系 60

1 调和函数概念 60

2 解析函数与调和函数间的关系 60

习题(2.1) 62

2.3 某些初等函数的解析性 63

1 初等代数函数 64

2 幂函数和根式函数 65

3 指数函数和对数函数 68

4 三角函数和反三角函数 71

5 双曲线函数和反双曲线函数 75

6 一般的幂函数和一般的指数函数 76

7 关于初等超越函数的定义 80

2.4 用多项式逼近函数 82

1 “偏差”和一致收敛 82

2 用多项式逼近函数 82

习题(2.2) 84

学习指导 85

1 复变函数积分的定义 106

3.1 复变函数积分的概念 106

第三章 复变函数的积分 106

2 复变函数积分的基本性质 109

3 复变函数积分的计算 110

习题(3.1) 115

3.2 Cauchy积分定理及其推广 116

1 Cauchy积分定理及其证明 116

2 Cauchy积分定理的推广 125

3 Cauchy积分定理推广到复连通区域 125

习题(3.2) 129

1 积分上限函数的解析性 130

3.3 不定积分 130

2 不定积分 132

3 Newton-Leibniz公式 133

3.4 Cauchy积分公式 134

1 Cauchy积分公式 134

2 算术平均值定理 137

习题(3.3) 137

3.5 解析函数的无穷可微性 138

1 解析函数的无穷可微性及其证明 138

2 Cauchy不等式 143

4 代数基本定理及其证明 144

3 Liouville定理 144

5 Morera(莫瑞拉)定理 145

6 可以用多项式逼近的函数的解析性 146

3.6 解析函数的最大模原理、Poisson积分 147

1 最大模原理 147

2 Poisson积分公式 149

习题(3.4) 150

学习指导 154

第四章 解析函数的级数展开式 181

4.1 复数项级数 181

1 复数项级数 181

2 复数项级数的性质 182

4.2 函数项级数 184

1 函数项级数概念 184

2 函数项级数的性质 187

3 Weierstrass定理 191

习题(4.1) 195

4.3 幂级数 197

1 幂级数概念 197

2 幂级数的收敛性 197

3 幂级数的收敛半径 200

4 和函数的解析性 200

1 Taylor(泰劳)定理 201

4.4 解析函数的幂级数展开式 201

习题(4.2) 211

4.5 解析函数零点的孤立性、唯一性定理 212

1 解析函数零点的孤立性 212

2 唯一性定理 215

4.6 Laurent级数 217

1 Laurent级数 217

2 Laurent级数的收敛域及其和函数的解析性 218

习题(4.3) 220

4.7 解析函数的Laurent展开式 221

1 Laurent定理 221

2 解析函数展开成Laurent级数的方法 225

4.8 解析函数在孤立奇点邻域的性质 230

1 解析函数在其有限孤立奇点邻域的性质 230

2 解析函数在其无穷远点邻域的性质 236

习题(4.4) 237

学习指导 239

第五章 留数理论及其应用 286

5.1 留数概念 286

1 关于有限远点的留数及其计算 286

2 关于无穷远点的留数及其计算 291

3 留数基本定理 292

习题(5.1) 295

5.2 用留数计算复变函数沿闭路的积分 296

5.3 围道积分 298

习题(5.2) 312

5.4 辐角原理、Rouché定理及其应用 314

1 对数留数 314

2 辐角原理 316

3 Rouché定理及其应用 318

习题(5.3) 321

学习指导 324

1 导数的模及其辐角几何意义 372

6.1 共形映射概念 372

第六章 共形映射 372

2 共形映射的概念 375

6.2 解析函数的映射性质 376

1 解析函数的保域性 376

2 单叶解析函数的共形性 378

3 单叶解析函数的反函数及其解析性 379

6.3 Riemann存在定理及边界对应定理 381

1 共形映射的基本问题 381

2 Riemann存在定理 381

3 边界对应定理 382

1 分式线性映射 384

6.4 分式线性映射 384

2 分式线性映射的共形性 386

3 分式线性映射的保圆性 388

4 对称点的不变性 389

5 交比不变性 391

6 分式线性函数的确定 392

6.5 分式线性映射的应用 394

习题(6.1) 398

6.6 某些初等函数所构成的映射 400

1 幂函数与根式函数的共形映射 400

2 指数函数与对数函数的共形映射 402

3 Жуковский(儒苛夫斯基)函数的映射 404

4 机翼剖面的外部到圆外部的共形映射 408

习题(6.2) 412

6.7 共形映射问题举例 414

习题(6.3) 419

学习指导 421

第七章 解析开拓 473

7.1 解析开拓的一般概念 473

1 解析开拓原理 473

2 完全解析函数 478

7.2 解析开拓的一般方法--幂级数法 480

1 对称原理的特殊情况 485

7.3 Schwarz对称原理 485

2 对称原理应用举例 486

习题(7.1) 488

学习指导 488

第八章 初等多值函数与黎曼曲面 497

8.1 初等多值函数概念 497

1 单值枝与单叶性区域 497

2 分枝、枝点与枝割线 499

3 函数W=？的枝点的判定 503

2 多值函数与黎曼曲面 505

1 黎曼曲面概念 505

8.2 黎曼曲面 505

习题(8.1) 509

学习指导 509

第九章 复变函数论在流体力学上的应用 522

9.1 不可压缩、无源、无旋、稳定的平面流动 522

9.2 解析函数在流体力学上的意义 523

9.3 关于飞机翼升力的计算 528

9.4 圆域上的Dirichlet问题 530

习题(9.1) 533

学习指导 534