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1 导引 1

1．1 数值分析方法的内容 1

1．2 误差 3

1．2．1 误差概念 3

1．2．2 误差来源 5

1．2．3 误差的改善 6

1．2．4 有效数字 8

2 插值 9

2．1 插值概念 9

2．1．1 插值定义 9

2．1．2 插值函数的存在唯一性 10

2．2．1 多项式插值 14

2．2 多项式插值、插值的Lagrange型式 14

2．2．2 多项式插值的Lagrange型式 15

2．2．3 多项式插值的误差 18

2．3 多项式插值的Newton型式 21

2．3．1 差商、差商表 21

2．3．2 多项式插值的Newton型式 23

2．4 等距Newton插值 27

2．4．1 差分、差分表 27

2．4．2 等距节点的多项式插值Newton型式 27

2．5 Hermite插值 32

2．5．1 Hermite插值 32

2．5．2 二重密切Hermite插值多项式 33

2．6．1 Runge现象 36

2．6 分段低阶插值 36

2．6．2 分段线性插值 37

2．6．3 分段三次Hermite插值 38

2．7．1 三次样条函数与三次样条插值 40

2．7 三次样条插值 41

2．7．2 三次样条插值的m关系式 41

2．7．3 三次样条插值的M关系式 44

2．7．4 样条插值求解 47

2．7．5 样条插值的极性及收敛性 48

习题 52

3．1 正交多项式 55

3．1．1 权函数与函数模，正交多项式 55

3 最佳平方逼近 55

3．1．2 正交多项式性质 57

3．1．3 正交多项式举例 58

3．2 函数最佳平方多项式逼近 60

3．2．1 平方逼近 60

3．2．2 最佳平方逼近多项式 62

3．3 曲线的多项式拟合 65

3．3．1 曲线拟合、多项式曲线拟合 65

3．3．2 形如ae？的曲线拟合 70

3．4 快速Fourier分析 72

3．4．1 连续型Fourier分析 72

3．4．2 离散Fourier分析 74

3．4．3 快速Fourier变换（FFT） 76

习题 83

4 数值微分、数值积分 86

4．1 数值微分 86

4．1．1 差商型数值微分 86

4．1．2 插值型数值微分 87

4．1．3 样条插值数值微分公式 91

4．2 数值积分 92

4．2．1 数值积分 92

4．2．2 待定系数法 93

4．2．3 插值型数值积分公式 95

4．3．1 Newton-Cote s积分 98

4．3 Newton-Cote s积分 98

4．3．2 Newton-Cote s积分误差 101

4．4 复化数值积分 108

4．4．1 复化梯型公式 108

4．4．2 复化Simpson公式 110

4．4．3 积分的自适应运算 112

4．5 外推方法、Romberg积分 117

4．5．1 外推方法 117

4．5．2 Romberg积分 119

4．6 Gauss积分 123

4．6．1 Gauss积分 123

4．6．2 Gauss积分性质与积分误差 127

4．6．3 常用的Gauss型积分 129

习题 135

5 矩阵范数 137

5．1 向量范数 137

5．1．1 向量范数 137

5．1．2 向量范数性质 138

5．2 矩阵范数 140

5．2．1 矩阵范数 140

5．2．2 矩阵的条件数 143

5．2．3 收敛矩阵 146

习题 148

6 解线性方程组的直接法 150

6．1 消元法 151

6．1．1 消元法 151

6．1．2 Gauss消元法 153

6．1．3 列主元消元法 157

6．1．4 全主元消元法 158

6．1．5 消元法与矩阵分解 159

6．2 矩阵的三角分解 162

6．2．1 Doolittle分解 162

6．2．2 Courant分解 165

6．2．3 带状矩阵分解、追赶法 168

6．3 正定矩阵的平方根分解 170

6．3．1 平方根分解 170

6．3．2 LDLT分解 171

6．4 逆矩阵求解 172

6．4．1 Gauss-Jordan消元 172

6．4．2 逆矩阵求解 173

习题 175

7 解线性方程组的迭代法 178

7．1 迭代法 178

7．1．1 迭代法 178

7．1．2 迭代收敛定理 180

7．2 Jacobi迭代 181

7．2．1 迭代计算式 181

7．2．2 迭代矩阵，收敛定理 183

7．3 Gauss-Seidel迭代 184

7．3．1 迭代计算式 184

7．3．2 迭代矩阵，收敛定理 185

7．4．1 迭代计算式 186

7．4 松弛迭代 186

7．4．2 迭代矩阵，收敛定理 187

7．5 共轭斜量法 189

7．5．1 线性方霍组与函数极小化 189

7．5．2 共轭斜量法 191

习题 194

8 非线性方程（组）求根 196

8．1 迭代法 197

8．1．1 压缩映射、Picard迭代 197

8．1．2 Picard迭代的误差，收敛阶 201

8．2 求实根的对分法 203

8．3．1 简单迭代 204

8．3 Newton迭代 204

8．3．2 Newton迭代 205

8．3．3 Newton迭代的收敛阶 206

8．4 弦截法 208

8．4．1 弦截法 208

8．4．2 弦载法的收敛阶 210

8．5 抛物线法（M？ller法） 212

8．5．1 M？ller法 212

8．5．2 M？ller法计算公式 212

8．5．3 M？ller方法的收敛阶 214

8．6 非线性方程组求解 216

8．6．1 非线性方程组求解 216

8．6．2 Newton迭代 219

8．7 劈因子迭代 220

8．7．1 劈因子迭代 220

8．7．2 林士谔方法 222

8．7．3 林士谔-Bairstow方法 222

8．8 Sturm定理 225

8．8．1 变号函数 225

8．8．2 Sturm定理 226

习题 230

9 矩阵特征值，特征向量的计算 232

9．1 幂法 232

9．1．1 幂法 232

9．1．2 幂法的规范运算 235

9．1．3 反幂法 239

9．2 Jacobi方法 240

9．2．1对称阵，旋转变换 240

9．2．2 Jacobi方法 243

9．3 Givens-Householder方法 247

9．3．1 Householder矩阵，对称阵三对角化 247

9．3．2 Givens-Householder方法 253

9．4 QR方法 258

9．4．1 QR分解 258

9．4．2 QR方法 263

9．4．3 Hessenberg矩阵及其QR分解 264

9．4．4 带位移的QR方法 271

习题 272

10 常微分方程数值解法 274

10．1 Euler公式 275

10．1．1 基于数值微商的差分方程 275

10．1．2 Euler公式及其几何解释 278

10．1．3 Euler法的收敛性 279

10．1．4 Euler公式的舍入误差 281

10．1．5 Euler法的外推加速 283

10．1．6 Euler方法的自适应运算 286

10．2 Runge-Kutta法 288

10．2．1 基于Taylor展开的差分方程 288

10．2．2 Runge-Kutta法 289

10．2．3 Runge-Kutta法的收敛性 295

10．3．1 基于数值积分的线性多步法 298

10．3 线性多步法 298

10．3．2 Adam s公式 302

10．4 隐格式迭代、预估-校正公式 306

10．4．1 隐格式的迭代法 306

10．4．2 预估-校正格式 308

10．4．3 预估-修正-校正-修正公式 310

10．5 方程组，高阶方程数值方法 314

10．5．1 一阶方程组的数值方法 314

10．5．2 高阶常微分方程数值方法 316

10．6 关于差分方程 317

10．7 差分方法的相容性、收敛性、稳定性 322

10．7．1 单步法的相容性 322

10．7．2 单步法的收敛性 324

10．7．3 多步法的相容性 325

10．7．4 多步法的收敛性 327

10．7．5 差分方程的渐近稳定性 330

10．7．6 差分方程的绝对稳定性 331

10．8 Stiff方程 339

10．8．1 Stiff方程 339

10．8．2 A（α）稳定，刚性稳定 342

10．9 边值问题数值方法 345

10．9．1 边值问题 345

10．9．2 边值问题的“打靶”法 347

10．9．3 有限差分方法 349

习题 353