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第一章 度量空间 2

1.1 度量空间 2

1.2 度量空间的其他例子 6

1.3 开集，闭集，领域 11

1.4 收敛性，柯西序列，完备性 16

1.5 例子--完备性的证明 20

1.6 度量空间的完备化 25

第二章 赋范空间，巴拿赫空间 30

2.1 矢量空间 30

2.2 赋范空间，巴拿赫空间 36

2.3 赋范空间的其他性质 41

2.4 有限维的赋范空间和子空间 44

2.5 紧性和有限维 48

2.6 线性算子 51

2.7 有界和连续线性算子 56

2.8 线性泛函 64

2.9 有限维空间上的线性算子和泛函 70

2.10 算子赋范空间·对偶空间 74

第三章 内积空间，希尔伯特空间 81

3.1 内积空间，希尔伯特空间 81

3.2 内积空间的其他性质 86

3.3 正交补与直和 89

3.4 标准正交集和标准正交序列 95

3.5 与标准正交序列和标准正交集有关的级数 101

3.6 完全标准正交集和完全标准正交序列 106

3.7 勒让德、埃尔米特、拉盖尔多项式 111

3.8 希尔伯特空间上泛函的表示 119

3.9 希尔伯特伴随算子 124

3.10 自伴算子，西算子，正规算子 128

第四章 赋范空间和巴拿赫空间的基本定理 133

4.1 佐恩(Zorn)引理 133

4.2 汉恩-巴拿赫定理 135

4.3 复矢量空间和复赋范空间的汉恩-巴拿赫定理 139

4.4 应用到C〔a,b〕上的有界线性泛函 143

4.5 伴随算子 147

4.6 自反空间 151

4.7 范畴定理，一致有界性定理 156

4.8 强收敛和弱收敛 163

4.9 算子序列和泛函序列的收敛 167

4.10 在序列可求和性方面的应用 170

4.11 数值积分和弱星(W？)收敛 175

4.12 开映射定理 181

4.13 闭线性算子，闭图定理 184

第五章 巴拿赫不动点定理的应用 189

5.1 巴拿赫不动点定理 189

5.2 巴拿赫定理在线性方程方面的应用 194

5.3 巴拿赫定理在微分方程方面的应用 199

5.4 巴拿赫定理在积分方程方面的应用 201

第六章 在逼近论中的应用 207

6.1 赋范空间中的逼近 207

6.2 唯一性，严格凸性 209

6.3 一致逼近 212

6.4 契比雪夫多项式 218

6.5 希尔伯特空间中的逼近 223

6.6 样条函数 226

第七章 赋范空间中线性算子的谱论 229

7.1 有限维赋范空间中的谱论 229

7.2 基本概念 233

7.3 有界线性算子的谱性质 236

7.4 预解式和谱的其他性质 239

7.5 复分析在谱论中的应用 243

7.6 巴拿赫代数 248

7.7 巴拿赫代数的其他性质 251

第八章 赋范空间上的紧线性算子及其谱 255

8.1 赋范空间上的紧线性算子 255

8.2 紧线性算子的其他性质 259

8.3 赋范空间上的紧线性算子的谱性质 264

8.4 紧线性算子的其他谱性质 269

8.5 含有紧线性算子的算子方程 275

8.6 其他的弗雷德霍姆型定理 279

8.7 弗雷德霍姆择一性 285

第九章 有界自伴线性算子的谱论 290

9.1 有界自伴线性算子的谱性质 290

9.2 有界自伴线性算子的其他谱性质 293

9.3 正算子 297

9.4 正算子的平方根 301

9.5 投影算子 304

9.6 投影的其他性质 308

9.7 谱族 312

9.8 有界自伴线性算子的谱族 315

9.9 有界自伴线性算子的谱表示 321

9.10 谱定理到连续函数的推广 325

9.11 有界自伴线性算子谱族的性质 328

第十章 希尔伯特空间中的无界线性算子 333

10.1 无界线性算子及其希尔伯特伴随算子 333

10.2 希尔伯特-伴随算子，对称和自伴线性算子 337

10.3 闭线性算子和闭包 340

10.4 自伴线性算子的谱性质 344

10.5 酉算子的谱表示 347

10.6 自伴线性算子的谱表示 353

10.7 乘法算子和微分算子 357

11.1 基本概念，状态，观察量，位置算子 363

第十一章 量子力学中的无界线性算子 363

11.2 动量算子，海森堡测不准原理 365

11.3 时间-无关的薛定锷方程 369

11.4 哈密顿算子 373

11.5 时间-相关的薛定锷方程 378

附录1 复习与参考资料 386

A1.1 集合 386

A1.2 映射 388

A1.3 族 390

A1.4 等价关系 390

A1.5 紧性 391

A1.6 上确界和下确界 391

A1.7 柯西收敛准则 392

A1.8 群 393