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第一章 集合 1

1 集合·集合的运算 1

2 映射·集合的对等 8

3 可列集与不可列集·集合的基数 13

4 可列集的判定 17

5 连续势集的判定 22

习题 27

第二章 点集 31

1 RN 空间·区间·距离 31

2 内点与开集 34

3 聚点与闭集 36

4 开集和闭集的构造 39

5 点集间的距离·有界闭集的性质 44

6 完备集·Cantor 集 47

习题 50

第三章 测度 53

1 引言 53

2 Lebesgue 外测度 59

3 有界 Lebesgue 可测集 66

4 无界 Lebesgue 可测集 74

5 不可测集的例 81

6 集合的乘积·RP、Rq 与 Rp+q 中可测集间的关系 84

7 Lebesgue-Stieltjes 测度 87

8 抽象测度理论初步 92

习题 120

1 广义实函数及相关的集合 124

第四章 可测函数 124

2 Lebesgue 可测函数的定义 129

3 可测函数与简单函数 131

4 可测函数的某些性质 135

5 Егоров定理 139

6 可测函数列的依测度收敛 142

7 可测函数与连续函数 147

习题 155

第五章 可测函数的积分 160

1 Lebesgue 积分的定义及初等性质 161

2 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系 172

3 逐项积分定理 178

4 Fubini 定理 186

5 p 幂可积函数 194

6 Lebesgue-Stieltjes 积分·抽象可测函数的积分 198

习题 202

第六章 微分与 Lebesgue 不定积分·Riemann-Stieltjes 积分 209

1 单调函数的微分性质 209

2 有界变差函数 220

3 绝对连续函数与 Lebesgue 不定积分 227

4 Riemann-Stieltjes 积分 237

习题 246

第七章 距离空间·赋范线性空间 251

1 距离空间的定义及例 251

2 赋范线性空间的定义及例 255

3 距离空间中的若干概念·连续映射 265

4 压缩映象原理及其应用 269

5 距离空间的完备化 275

6 可分距离空间 281

7 距离空间中集合的列紧性 283

8 关于赋范线性空间的若干概念 293

9 无限维赋范线性空间的特征 299

习题 301

第八章 线性算子 307

1 线性算子的基本性质 307

2 有界线性算子空间 313

3 共鸣定理及其应用 318

4 开映射定理与逆算子定理·闭图象定理 325

习题 329

1 线性泛函的基本性质 332

第九章 线性泛函 332

2 有界线性泛函的延拓 333

3 某些空间上有界线性泛函的表示 340

4 共轭算子 349

5 弱*收敛与弱收敛·自反空间 351

6 凸集分离定理 357

习题 361

第十章 全连续线性算子 364

1 全连续算子的定义和性质 364

2 全连续线性算子方程的 Riesz-Schauder 理论 370

3 全连续线性算子的谱 382

4 全连续线性算子的分解 385

习题 391

1 Hilbert 空间 395

第十一章 Hilbert 空间上的线性算子 395

2 Riesz 表示定理 410

3 自共轭算子的谱 412

4 自共轭全连续算子的谱分解 421

5 投影算子 426

6 非负算子 431

7 自共轭算子的谱分解 436

8 双线性泛函 451

9 保范算子 459

10 正常算子 467

习题 471

第十二章 抽象函数·Banach 代数 476

1 抽象函数 476

2 Banach 代数 484

第十三章 凸锥理论 496

1 线性半群与锥 496

2 正线性泛函 504

3 正线性算子 513

第十四章 广义函数 527

1 基本函数空间与广义函数 528

2 广义函数的微分 538

3 广义函数的卷积 547

4 广义函数的 Fourier 变换 556

5 广义微分方程 564

习题 569

参考书目 571