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第一章 多元函数的微分学 3

第一节 多元函数的概念 3

1.1 区域 3

习题一 7

1.2 函数的定义 8

习题二 11

1.3 定义域 12

习题三 14

1.4 函数的几何表示 15

习题四 18

第二节 极限与连续 19

2.1 极限(全面极限) 19

习题五 22

2.2 累次极限 23

2.3 连续性 26

习题六 29

2.4 连续函数的性质 30

2.5 关于连续性的补充 32

习题七 34

第三节 偏导数及其应用 35

3.1 偏导数 35

习题八 39

3.2 通常极值 40

习题九 44

第四节 全微分 45

4.1 全微分的概念 45

4.2 微分与偏导数 49

习题十 54

4.3 微分的应用 55

习题十一 57

第五节 复合函数微分法 57

5.1 简单情形 57

习题十二 60

5.2 一般情形 61

习题十三 65

5.3 一阶微分形式的不变性 66

5.4 变换行列式 69

习题十四 74

第六节 隐函数微分法 74

6.1 隐函数微分 74

习题十五 80

6.2 曲面的切平面与法向量 81

习题十六 87

6.3 曲线的切线与法平面 88

6.4 平面曲线族的包络线 92

习题十七 97

第七节 高阶导数 98

7.1 高阶偏导数 98

习题十八 102

7.2 复合函数的高阶导数 104

习题十九 107

7.3 隐函数的高阶导数 107

习题二十 111

7.4 变量替换 111

习题二十一 116

第八节 泰勒公式 117

8.1 泰勒公式 118

习题二十二 126

8.2 隐函数存在定理 126

第九节 方向导数与梯度 130

9.1 方向导数 130

9.2 梯度 133

习题二十三 137

9.3 最速下降法 138

10.1 条件极值的必要条件 140

第十节 条件极值 140

10.2 几个例子 144

习题二十四 150

10.3 通常极值的充分条件 151

习题二十五 157

第一章小结 158

第二章 重积分 159

第一节 二重积分概念和性质 159

1.1 二重积分概念 159

1.2 二重积分性质 165

习题一 167

第二节 二重积分的计算 168

2.1 利用直角坐标系计算二重积分 168

2.2 偏导数与次序无关定理 181

习题二 183

2.3 利用极坐标系计算二重积分 184

2.4 一个广义积分 191

习题三 193

3.1 三重积分概念 194

第三节 三重积分概念与计算 194

3.2 利用直角坐标系计算三重积分 197

习题四 203

3.3 利用柱坐标系计算三重积分 204

习题五 209

3.4 利用球坐标系计算三重积分 210

习题六 215

第四节 重积分变换 215

4.1 变换的雅可比行列式的几何意义 216

4.2 二重积分变换 221

4.3 三重积分变换 226

习题七 229

第五节 重积分的应用 230

5.1 求曲面面积 230

5.2 物体的重心 237

5.3 转动惯量 241

5.4 引力 243

习题八 247

第二章小结 248

第三章 曲线、曲面积分和场论 249

第一节 第一型曲线积分 249

1.1 第一型曲线积分概念 249

1.2 第一型曲线积分的计算 254

习题一 258

第二节 第二型曲线积分 259

2.1 第二型曲线积分的概念 259

2.2 第二型曲线积分的计算 264

2.3 两种类型曲线积分之间的联系 270

习题二 271

3.1 第一型曲面积分概念 273

第三节 第一型曲面积分 273

3.2 第一型曲面积分的计算 276

习题三 283

第四节 第二型曲面积分 284

4.1 曲面的侧 284

4.2 第二型曲面积分概念 287

4.3 第二型曲面积分的计算 291

第五节 格林公式 299

习题四 299

5.1 公式的导出 300

5.2 格林公式 302

5.3 应用与例子 308

习题五 314

5.4 变换的雅可比行列式 315

第六节 场与保守场 317

6.1 场的概念、数量场的等位面与梯度 318

6.2 保守场与势函数 321

6.3 保守场的性质 324

6.4 保守场的判别法 330

习题六 335

第七节 散度与奥氏公式 336

7.1 散度概念 336

7.2 散度的计算 339

7.3 奥氏公式 344

习题七 350

8.1 旋度概念 352

第八节 旋度与斯托克斯公式 352

8.2 旋度的计算 358

8.3 斯托克斯公式 361

习题八 367

第九节 向量的外积与外微分形式 368

9.1 引言 368

9.2 向量的外积 370

9.3 外微分 377

第三章小结 385

习题答案 386