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1.集合和映射 1

1.1 集合 1

集合概念 1

集合的运算 3

笛卡儿乘积集合 6

1.2 映射 7

映射概念 7

一一对应 9

1.3 一元实函数 11

函数概念 11

函数的几何特性 16

函数延拓 19

1.4 复合函数和反函数 22

复合函数 22

反函数 23

基本初等函数 26

2.极限和连续 33

2.1 实数系的基本结构 33

实数的运算规则 33

实数的大小关系 34

实数连续统 35

2.2 数集的上(下)确界 39

有界数集 39

上确界和下确界 41

有界数集的上(下)确界定理 43

2.3 数列极限 46

数列极限定义 46

数列极限的性质 51

数列极限的四则运算 55

单调有界数列 60

无穷大量 64

2.4 函数极限 69

函数极限的定义 70

函数极限的性质 73

函数极限的四则运算 77

单侧极限 78

函数在无限远点的极限 80

函数值趋于无限的渐近性态 82

渐近线 86

2.5 连续函数 90

函数在一点连续的概念 90

连续函数的四则运算 93

不连续点类型 97

无穷小量的阶 100

3.实数系和连续函数的基本定理 107

3.1 实数系的基本定理 107

区间套定理 107

波尔查诺-韦尔斯特拉斯定理 109

3.2 闭区间上连续函数的性质 112

有界性定理 112

最大(小)值定理 113

零点存在定理 115

中间值定理 117

一致连续概念 117

康托尔定理 120

4.导数 123

4.1 导数定义 123

导数概念 123

几个初等函数的导数公式 127

4.2 求导法则 131

导数的四则运算 131

反函数的导数 135

复合函数求导的链式法则 138

4.3 不可导情况 144

4.4 微分 149

微分概念 149

微分公式 152

一阶微分的形式不变性 154

4.5 高阶导数和高阶微分 159

高阶导数概念 159

高阶导数的计算 162

高阶微分 166

5.微分中值定理和它的应用 170

5.1 中值定理 170

费尔玛定理 170

罗尔定理和拉格朗日中值定理 171

柯西中值定理 175

5.2 泰勒公式 178

5.3 洛必达法则 185

5.4 函数的单调性，极值，凸性 191

函数的单调性 191

函数的极值 193

函数的最大值和最小值 196

函数的凸性 200

5.5 函数方程的牛顿方法 208

6.不定积分 211

6.1 不定积分的概念和运算法则 211

不定积分的概念 211

运算法则 215

6.2 不定积分的换元法 216

6.3 不定积分的分部积分法 221

6.4 有理函数的积分法 227

6.5 其他类型的不定积分 233

形如？R(x,?)dx的积分 233

形如？R(cosx,sinx)dx的积分 235

7.定积分 239

7.1 定积分的概念 239

定积分的引进 239

上和与下和 241

上积分、下积分、定积分 243

可积条件 244

7.2 可积函数类 246

7.3 定积分的基本性质 249

基本性质 249

定积分两种定义的等价性 257

7.4 微积分的基本定理 263

基本定理 263

定积分的换元法 266

定积分的分部积分法 267

7.5 平面图形的面积 273

7.6 曲线的弧长 277

弧长、弧长公式和弧长的微分 278

平面曲线的曲率 282

7.7 旋转体的体积和侧面积 285

截面积已知的体积公式 285

旋转体的体积公式 286

旋转体的侧面积公式 287

7.8 在物理上的一些应用 291

质量 292

重心 292

功 294

7.9 数值积分 297

矩形公式 297

梯形公式 297

抛物线公式 298

欧勒-麦克劳林求和公式 300

余项估计 303

8.实数系的完备性 308

8.1 收敛准则 308

柯西收敛准则 309

实数系的完备性 311

8.2 紧集 313

紧集的概念 313

海涅-波莱尔定理 314

9.数项级数 319

9.1 数列的上极限和下极限 319

9.2 级数的收敛与发散 323

9.3 正项级数 329

9.4 任意项级数 336

绝对收敛和条件收敛 336

9.5 绝对收敛级数的性质 344

9.6 无穷乘积 351

10.反常积分 357

10.1 无穷限反常积分的收敛概念 357

10.2 无穷限反常积分的收敛判别法 361

比较判别法 361

积分第二中值定理 364

阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 366

10.3 无界函数的反常积分 370

10.4 反常积分的计算.柯西主值 376