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第一章 矩阵的运算与初等变换 1

1 矩阵与向量的概念 1

1.1 矩阵的概念 1

1.2 向量的概念 3

习题1.1 4

2 矩阵的运算 4

2.1 矩阵加法 4

2.2 数乘矩阵 5

2.3 矩阵乘法 6

2.4 矩阵的转置 10

习题1.2 12

3 分块矩阵及矩阵的分块运算 14

3.1 矩阵的分块加法运算 15

3.2 矩阵的分块数乘运算 16

3.3 矩阵的分块乘法运算 16

3.4 分块矩阵的转置 18

习题1.3 18

4 几种特殊矩阵 19

4.1 对角矩阵 19

4.2 上（下）三角形矩阵 21

4.3 对称矩阵 22

4.4 反称矩阵 22

4.5 分块对角矩阵 23

习题1.4 25

5 矩阵的初等变换 25

5.1 引例 26

5.2 矩阵的初等变换 27

5.3 初等矩阵 30

习题1.5 32

第二章 方阵的行列式 34

1 n阶行列式的定义 34

1.1 n阶行列式的引出 34

1.2 全排列及其逆序数 36

1.3 n阶行列式的定义 38

习题2.1 41

2 方阵行列式的性质 42

习题2.2 47

3 展开定理与行列式的计算 48

3.1 余子式和代数余子式 49

3.2 行列式按一行（列）展开定理 49

3.3 Laplace定理 56

习题2.3 59

第三章 可逆矩阵 62

1 可逆矩阵的定义与性质 62

1.1 可逆矩阵的概念 62

1.2 可逆矩阵的性质 63

习题3.1 64

2 方阵可逆的充要条件与逆矩阵计算 65

习题3.2 71

3 矩阵的秩 73

习题3.3 77

第四章 线性方程组与向量组的线性相关性 79

1 消元法与线性方程组的相容性 79

1.1 线性方程组的相容性与Cramer法则 79

1.2 用消元法解线性方程组 82

习题4.1 85

2 向量组的线性相关性 87

2.1 n维向量 87

2.2 向量组的线性相关性 87

习题4.2 94

3 向量组的秩 矩阵的行秩与列秩 95

3.1 向量组的秩 95

3.2 矩阵的行秩与列秩 97

习题4.3 100

4 线性方程组解的结构 102

4.1 齐次线性方程组解的结构 102

4.2 非齐次线性方程组解的结构 108

习题4.4 111

第五章 方阵的特征值、特征向量与相似化简 114

1 数域 多项式的根 114

1.1 数域 114

1.2 多项式的根与标准分解式 115

习题5.1 117

2 方阵的特征值与特征向量 117

习题5.2 123

3 方阵相似于对角矩阵的条件 125

3.1 相似矩阵及其性质 125

3.2 方阵的相似对角化 127

习题5.3 133

4 正交矩阵 134

4.1 实向量的内积与长度 134

4.2 正交向量组 136

4.3 正交矩阵与正交变换 139

4.4 共轭矩阵 140

4.5 H-矩阵与酉矩阵 141

习题5.4 142

5 实对称矩阵的相似对角化 143

5.1 实对称矩阵特征值与特征向量的性质 143

5.2 用正交变换实现实对称矩阵的相似对角化 144

习题5.5 153

6 Jordan标准形简介 155

6.1 多项式矩阵及其初等变换 155

6.2 矩阵的Jordan标准形 157

习题5.6 164

第六章 二次型与对称矩阵 166

1 二次型及其矩阵 166

习题6.1 170

2 二次型的标准形 170

2.1 用正交变换化实二次型为标准形 171

2.2 用配方法化二次型为标准形 174

习题6.2 176

3 合同变换与二次型的规范形 177

3.1 合同变换法 177

3.2 实二次型的规范形 181

3.3 复二次型的规范形 183

3.4 实二次型规范形惟一性的证明 185

习题6.3 186

4 实二次型的分类 正定二次型 187

4.1 实二次型的分类 187

4.2 正定二次型与正定矩阵 188

4.3 负定、半正定与半负定二次型 191

习题6.4 192

第七章 线性空间与线性变换 194

1 线性空间及其子空间 194

1.1 线性空间的定义 194

1.2 线性空间的基本性质 198

1.3 线性空间的子空间 199

1.4 子空间的交与和 201

习题7.1 203

2 基与维数 205

习题7.2 211

3 坐标与坐标变换 212

3.1 向量的坐标 212

3.2 基变换与坐标变换 216

习题7.3 220

4 线性变换及其性质 221

4.1 变换及其运算 221

4.2 线性变换及其性质 223

习题7.4 226

5 线性变换与矩阵的对应关系 228

5.1 线性变换的矩阵 228

5.2 线性变换与矩阵的对应关系 232

5.3 线性变换的特征值与特征向量 237

习题7.5 239

习题参考答案 241

参考文献 268