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关于抽象 1

第1章 拓扑与测度 2

1.1 集与映射 2

1.1.1 集与映射的概念 2

1.1.2 积集，商集，极限集 5

1.1.3 Cantor定理与Zorn引理 7

1.2 拓扑空间 9

1.2.1 拓扑空间的基本概念 10

1.2.2 可数性公理及分离性公理 15

1.2.3 紧性与连通性 20

1.3 测度空间 27

1.3.1 可测空间与可测映射 27

1.3.2 实值函数与复值函数的可测性 32

1.3.3 测度的基本性质 35

1.3.4 Lebesgue测度 42

习题 45

第2章 抽象积分 47

2.1 可测函数的积分 47

2.1.1 Lebesgue积分的定义 48

2.1.2 单调收敛定理 50

2.1.3 Lebesgue积分的基本性质 51

2.2 积分收敛定理及应用 55

2.2.1 积分收敛定理 55

2.2.2 Riemann可积性 65

2.2.3 可测函数的连续性 68

2.3 乘积空间上的积分及不等式 73

2.3.1 积空间的可测性 73

2.3.2 乘积测度 75

2.3.3 Fubini定理 77

2.3.4 积分不等式 81

2.4 不定积分的微分 85

2.4.1 单调函数的导数 85

2.4.2 有界变差函数 89

2.4.3 绝对连续函数 92

2.4.4 Stieltjes积分与广义的测度 98

习题 102

第3章 Banach空间理论基础 106

3.1 向量与度量的基本空间类 106

3.1.1 线性空间与凸集 106

3.1.2 度量空间与球 114

3.1.3 赋范空间及例子 120

3.1.4 内积空间及例子 127

3.2 拓扑线性空间 131

3.2.1 拓扑线性空间及其原点的邻域 132

3.2.2 局部有界空间与局部凸空间 137

3.2.3 空间的同构 146

3.3 完备性与可分性 147

3.3.1 空间的完备性 147

3.3.2 空间的稠密性与可分性 152

3.3.3 Baire纲定理 159

3.4 紧性与有限维空间 162

3.4.1 度量空间中的紧性 162

3.4.2 有限维空间 167

3.4.3 Arzela-Ascoli定理与Mazur定理 170

习题 173

第4章 线性算子理论基础 177

4.1 线性算子与泛函的有界性 177

4.1.1 有界性与连续性 177

4.1.2 算子空间的完备性 180

4.1.3 线性泛函的零空间 182

4.1.4 线性算子范数的估算 184

4.2 线性算子的基本定理 187

4.2.1 一致有界原理 187

4.2.2 开映射定理 191

4.2.3 闭图像定理 196

4.3 线性泛函的基本定理 199

4.3.1 Hahn-Banach定理 199

4.3.2 Hahn-Banach定理的几何形式 204

4.3.3 凸集隔离定理 205

4.4 共轭性与弱收敛 208

4.4.1 共轭空间的表示 208

4.4.2 自反空间与自然嵌入算子 216

4.4.3 Banach共轭算子 218

4.4.4 点列的弱收敛性 221

4.4.5 算子列的弱收敛性 227

习题 230

第5章 抽象空间的几何 233

5.1 Hilbert几何 233

5.1.1 规范正交基 233

5.1.2 正交投影 240

5.1.3 共轭性 242

5.2 空间的构作与分解 253

5.2.1 积空间与商空间 253

5.2.2 空间的分解与投影 257

5.2.3 零化子 265

5.2.4 线性紧算子与Fredholm算子 268

5.3 弱紧性与凸性 280

5.3.1 弱拓扑与弱＊拓扑 280

5.3.2 弱＊紧性，弱紧性与自反性 285

5.3.3 凸集的端点 294

5.3.4 凸性与光滑性 296

5.3.5 最佳逼近 306

习题 308

第6章 不动点理论初步 313

6.1 Banach压缩映射原理 313

6.2 凸紧集上的不动点定理 318

6.3 压缩扰动、非扩张映射与集值映射 327

习题 335

第7章 Banach代数与谱理论初步 337

7.1 Banach代数与谱 337

7.2 有界线性算子的谱 349

7.3 符号演算与谱分解 362

习题 379

第8章 向量值函数与算子半群初步 382

8.1 向量值函数 382

8.2 算子半群的基本性质 394

8.3 算子半群的生成元表示 399

习题 408

第9章 无界线性算子初步 410

9.1 图范数及可闭性 410

9.2 对称算子 416

9.3 无界算子的谱 425

习题 432

参考文献 435