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第1章　科学计算与Matlab 1

1.1　科学计算的意义 1

1.2　误差基础知识 2

1.2.1　误差的来源 2

1.2.2　误差度量 2

1.2.3　有效数字 3

1.2.4 计算机的浮点数系 3

1.2.5　一个实例 4

1.2.6　数值计算中应注意的几个问题 4

1.3　Matlab软件 7

1.3.1　简介 7

1.3.2　向量和矩阵的基本运算 8

1.3.3　流程控制 15

1.3.4　脚本文件和函数文件 18

1.3.5　帮助系统 22

1.3.6 图功能 26

1.3.7　数据操作 30

习题一 33

数值实验一 33

第2章　线性方程组的直接解法 35

2.1　高斯消去法 35

2.2　矩阵的三角分解 39

2.2.1　LU分解和LDU分解 39

2.2.2　乔列斯基分解 42

2.2.3　追赶法 44

2.2.4　分块三角分解 46

2.3　QR分解和奇异值分解 47

2.3.1　正交矩阵 47

2.3.2　QR分解 50

2.3.3　奇异值分解 52

习题二 53

数值实验二 54

第3章　多项式插值与样条插值 56

3.1　多项式插值 56

3.1.1 多项式插值问题的定义 56

3.1.2　插值多项式的存在唯一性 57

3.1.3　插值基函数 57

3.2　拉格朗日插值 58

3.2.1　拉格朗日插值基函数 58

3.2.2　拉格朗日插值多项式 58

3.2.3　插值余项 60

3.3 牛顿插值 62

3.3.1　差商 62

3.3.2 牛顿插值公式及其余项 64

3.3.3　差分与等距节点的插值公式 65

3.4　埃尔米特插值 66

3.4.1　两点三次埃尔米特插值 66

3.4.2　埃尔米特插值多项式的余项 68

3.4.3　n+1个点2n+1次埃尔米特插值多项式H2n+1（x）及其余项R2n+1（x） 68

3.5　三次样条插值 68

3.5.1　样条插值概念的产生 68

3.5.2　三次样条函数 70

习题三 78

数值实验三 79

第4章　函数逼近 81

4.1　内积与正交多项式 81

4.1.1　权函数和内积 81

4.1.2　正交函数系 82

4.1.3　勒让德多项式 82

4.1.4　切比雪夫多项式 84

4.1.5　其他正交多项式 85

4.2　最佳一致逼近与切比雪夫展开 86

4.2.1　最佳一致逼近多项式 86

4.2.2　线性最佳逼近多项式的求法 87

4.2.3　切比雪夫展开与近似最佳逼近多项式 88

4.3　最佳平方逼近 90

4.3.1　预备知识 90

4.3.2　最佳平方逼近 90

4.4　曲线拟合的最小二乘法 94

4.4.1　最小二乘法 94

4.4.2　利用正交多项式作最小二乘拟合 97

4.4.3　非线性最小二乘问题 99

4.4.4　矛盾方程组 102

4.5　周期函数逼近与快速傅里叶变换 103

4.5.1　周期函数的最佳平方逼近 103

4.5.2　快速傅里叶变换（FFT） 105

习题四 107

数值实验四 108

第5章　数值积分与数值微分 109

5.1　引言 109

5.2　几个常用积分公式及其复合公式 110

5.2.1　几个常用积分公式 110

5.2.2　代数精度 111

5.2.3　积分公式的复合 112

5.3　变步长方法与外推加速技术 118

5.3.1　变步长梯形法 118

5.3.2　外推加速技术与龙贝格求积方法 119

5.4 牛顿-科茨公式 121

5.5　高斯公式 123

5.5.1　高斯公式的定义及性质 123

5.5.2　常用高斯型公式 126

5.5.3　高斯型公式的应用 132

5.6　多重积分的计算 135

5.6.1　二重积分的计算 135

5.6.2　蒙特卡罗模拟求积法简介 138

5.7　数值微分 141

5.7.1　基于拉格朗日插值多项式的求导方法 141

5.7.2　基于样条函数的求导方法 144

习题五 147

数值实验五 149

第6章　线性方程组的迭代解法 151

6.1　范数和条件数 151

6.1.1　向量范数和矩阵范数 151

6.1.2　扰动分析和条件数 153

6.2　基本迭代法 155

6.2.1　雅可比迭代法 156

6.2.2　高斯-赛德尔迭代法 157

6.2.3　超松弛（SOR）迭代法 158

6.2.4　迭代的收敛性分析和误差估计 160

6.3　不定常迭代法 165

6.3.1　最速下降法 165

6.3.2　共轭梯度法 168

6.3.3　广义极小残量法 172

6.3.4　预处理技术 176

习题六 178

数值实验六 179

第7章　非线性方程求根 180

7.1　非线性方程求根的基本问题 180

7.2　二分法 182

7.3　不动点迭代方法 183

7.4　迭代加速 186

7.5 牛顿法 188

7.6　割线法 194

7.7　非线性方程组简介 196

7.8　非线性最小二乘问题 199

7.9　大范围求解方法 201

习题七 204

数值实验七 205

第8章　矩阵特征值与特征向量的计算 206

8.1　前言 206

8.2　幂方法 208

8.2.1　乘幂法 208

8.2.2　反幂法 212

8.2.3　结合原点平移的反幂法 213

8.3　QR方法 214

习题八 216

数值实验八 217

第9章　常微分方程初边值问题数值解 218

9.1　欧拉公式及其改进 218

9.1.1　欧拉公式 218

9.1.2　数值积分与多步法 220

9.1.3　预估校正格式 223

9.2　龙格-库塔公式 225

9.3　收敛性与稳定性 230

9.3.1　单步法的收敛性 230

9.3.2　单步法的稳定性 232

9.4　微分方程组和刚性问题 233

9.5　有限差分法 236

习题九 239

数值实验九 239

参考文献 241

索引 242

表3-1　一般插值数据表 56

表3-2　函数y=ln x数据表 59

表3-3　差商表 63

表3-4　函数y=ln x的差商表 65

表3-5 两点埃尔米特插值数据 66

表3-6　给定数据表 76

表3-7　例3.5.3的差商表 76

表4-1　切比雪夫展开多项式系数 89

表4-2　给定的数据表 95

表4-3　二次最小二乘拟合数据 96

表4-4　多项式拟合数据表 98

表4-5　未知函数数据表 99

表4-6　函数y=a sin bx拟合数据 100

表5-1　函数值表 109

表5-2　函数值表 115

表5-3　三种不同方法的计算结果 116

表5-4　区间折半法的计算结果 119

表5-5　龙贝格方法计算结果 120

表5-6　科茨系数 122

表5-7　勒让德高斯点及高斯系数 127

表5-8　部分拉盖尔高斯点及高斯系数 129

表5-9　埃尔米特高斯点及高斯系数 131

表5-10　函数f（x）数据表 143

表7-1　二分法计算结果 183

表7-2　x3-x-1=0的四个不同的迭代方法 184

表7-3 方程xlnx=1的不同迭代法 186

表7-4 加速方法计算效果 187

表7-5 艾特肯加速效果 188

表7-6 ？的不同近似值 191

表7-7 牛顿法和割线法的计算效果 195

表7-8　方程组的不同迭代效果比较 198

表8-1　乘幂法的计算结果 210

表8-2　改进乘幂法的计算结果 212

表8-3　反幂法的计算结果 213

表8-4　带原点平移的反幂法的计算结果 214

表9-1　欧拉法的计算结果 220

表9-2　梯形公式的计算结果 222

表9-3　改进欧拉法的计算结果 224

表9-4　龙格-库塔公式阶数和次数的关系 228

表9-5　标准四阶龙格-库塔方法的计算结果 229

表9-6　龙格-库塔方法的计算结果 235

表9-7　不同N情况下有限差分解的误差 238

图1-1　河渠的图形 4

图1-2　命令plot演示 26

图1-3　命令plot3演示 27

图1-4　命令surf演示 28

图1-5　命令surf和contour用于二元函数 28

图1-6　图像的标注 29

图2-1　Givens变换 48

图2-2　Householder变换 50

图3-1　多项式插值的几何意义 57

图3-2　龙格函数及其10阶拉格朗日插值多项式与分段线性多项式 69

图4-1　勒让德多项式的图形，n=0,1,2,3 84

图4-2 切比雪夫多项式的图形，n=0,1,2,3,4 85

图4-3 最佳一次逼近多项式的几何意义 88

图4-4 例4.4.4数据点的分布情况 98

图4-5 非线性最小二乘拟合 101

图5-1 三种不同方法的收敛速度的比较 116

图5-2 被积函数的光滑性与高斯公式收敛速度的关系 133

图5-3 节点数与高斯公式的误差的关系 134

图5-4 二重积分求积区域 135

图5-5 误差RN随节点N的变化规律 140

图7-1 函数f(x)=x sin x/x2+1的图像 180

图7-2　非线性方程求根的不同困难程度 181

图7-3　不同的序列收敛速度 182

图7-4　不动点迭代的局部收敛性 185

图7-5 牛顿法的几何意义 189

图7-6 函数f（x）=x2+sin 10x-1的图像 193

图7-7　割线法的几何意义 195

图7-8　三个方程同伦算法的解曲线 202

图9-1　欧拉法的几何意义 219

函数mysort.m 18

函数mysort2.m 19

函数mysort3.m 20

函数zhouchang.m 22

函数fib.m 22

函数fib.m（带注释） 24

函数tridiagsolver.m 45

函数lagrange.m 59

函数chashang.m 63

函数nlfit.m 100

函数nlfitb.m 101

函数fmid.m 113

函数ftrapz.m 113

函数fsimpson.m 114

函数coeflege.m 128

函数gauss_lege.m 128

函数gauss_laguerre.m 130

函数gauss_her.m 131

函数herval.m 132

函数jacobi.m 156

函数gs.m 157

函数sor.m 158

函数cg.m 170

函数gmres.m 174

函数newton.m 192

函数homo.m 202

函数eigIPower.m 211

函数odeEuler.m 219

函数odeIEuler.m 224

算法2.1.1 高斯消去法 36

算法2.2.4　杜利脱尔算法 41

算法2.2.5　克洛脱算法 41

算法2.2.7　乔列斯基算法 43

算法2.2.9　追赶法 44

算法5.3.1　区间折半法 118

算法6.2.1　雅可比迭代算法 156

算法6.2.2　高斯-赛德尔迭代算法 157

算法6.2.3　SOR.迭代算法 158

算法6.3.2　最速下降法 167

算法6.3.6　共轭梯度法 169

算法6.3.10　广义极小残量法 173

算法6.3.13　左预处理共轭梯度法 177

算法7.2.1　二分法 183

算法7.5.5 牛顿下山法 192

算法7.7.1　非线性方程组的GS方法 196

算法7.7.4　拟牛顿法 198

算法7.7.6　改进拟牛顿法 199

算法7.8.1　高斯-牛顿法 200

算法7.8.2　LM算法 201

算法8.2.1　原始乘幂法 209

算法8.2.3　改进乘幂法 211

算法8.2.5　反幂法 212

算法8.2.7　带原点平移的反幂法 213

算法8.3.1　QR方法 214

算法9.1.1　欧拉方法 219

算法9.1.3　梯形方法 221

算法9.1.7　改进欧拉方法 224

算法9.2.1 标准四阶四段龙格-库塔方法 229

算法9.5.1　有限差分法 237