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第1章 函数 1

1.1基本要求 1

1.2学习指导 1

1-1函数对应规则的三种形式 1

1-2 y= f （x） , y= f-1（x）及x= f-1（y）的关系是什么 1

1-3如何围绕函数的初等运算探索函数的性质 2

1.3解题指导 2

题型1-1求解不等式 2

题型1-2确定函数的定义域 4

题型1-3求可逆函数的反函数 4

题型1-4求函数的复合及分析复合函数的构成 5

题型1-5判断函数的几何性质 6

1.4知识扩展 8

习题1 8

部分答案与提示 10

第2章 极限与连续 11

2.1基本要求 11

2.2学习指导 11

2-1对数列极限limxnn→∞=a定义中的ε,N的理解 11

2-2变量的极限存在（或者说收敛）的几个常用条件 12

2-3变量的极限不存在（或者说发散）的几个常用条件 12

2-4收敛数列是否等同于单调有界数列 12

2-5数列在增加或减少或改变有限项之后是否会改变其敛散性 12

2-6正确使用和与积的极限运算规则 13

2-7注意归纳特殊函数所承载的性质 13

2-8如何论述数列或函数的无界性 13

2-9为什么说初等函数在其定义区间上连续，而不说在其定义域上连续 13

2-10无界变量为何不一定是无穷大量 14

2-11等价代换与函数运算的关系归纳 14

2.3解题指导 14

题型2-1依据定义或性质验证极限的存在性 14

题型2-2给定通项的数列的极限计算 16

题型2-3递归方式定义的数列的极限计算 17

题型2-4确定无穷小量的主部 18

题型2-5使用无穷小量因式替换求函数极限 19

题型2-6幂指型变量uv的极限 20

题型2-7确定函数中的待定参数问题（根据极限相关条件） 21

题型2-8判断函数的连续性问题 22

题型2-9函数的间断点确定与类型识别 22

题型2-10连续函数的介值问题 23

题型2-11综合问题 25

2.4知识扩展 25

习题2 26

部分答案与提示 29

第3章 导数与微分 30

3.1基本要求 30

3.2学习指导 30

3-1学习导数的重要意义 30

3-2几对容易混淆的导数记号 30

3-3在一点连续但不可导的函数 31

3-4一点处可导与一点附近可导的区别 31

3-5导数概念与微分概念的比较 32

3-6何时需要依据定义求函数在一点的导数 32

3-7复合函数导数的链法则与复合函数微分的链法则 32

3-8导函数的周期性与奇偶性 33

3-9绝对值函数的可导性 33

3-10由极限limh→0f（x0+h）-f（x0-h）/2h存在能否推出f （x）在点x0处可导 34

3.3解题指导 34

题型3-1依据导数定义判定函数在某点的可导性，并计算其导数 34

题型3-2由可导性确定函数中的待定参数 37

题型3-3讨论导函数在某点的连续性 38

题型3-4已知函数在某点的导数来计算某个极限 38

题型3-5含绝对值因式的函数的可导性 39

题型3-6依据求导法则和公式计算初等函数的导数 40

题型3-7求反函数的导数 41

题型3-8求隐函数的导数 42

题型3-9求由参变量确定的函数的导数 43

题型3-10求幂指函数与连续积商函数的导数 44

题型3-11微分的计算与应用 44

题型3-12求函数的n阶导数 45

题型3-13求相关变化率 47

题型3-14导数的几何应用 47

3.4知识扩展 48

习题3 49

部分答案与提示 53

第4章 微分中值定理·应用 55

4.1基本要求 55

4.2学习指导 55

4-1本章的脉络和主要思想方法 55

4-2拉格朗日中值公式的等价形式及意义 55

4-3柯西中值定理的下述证法对吗 56

4-4正确理解微分中值定理的条件 56

4-5选用微分中值定理的一般原则和思路 56

4-6使用洛必达法则求未定型（也称为不定式）极限时，应注意什么问题 57

4-7函数的驻点与函数的极值点关系 57

4-8极值与最值的区别与联系是什么 58

4-9泰勒公式的重要性和典型用途归纳 58

4.3解题指导 58

题型4-1函数的中值问题（或表现为方程的根问题） 58

题型4-2函数恒等式（或函数恒为常数）的证明 64

题型4-3含中值点导数（或f（x2） —f（x1））的不等式的证明 65

题型4-4函数不等式u（x）＞v（x）的证明 67

题型4-5求函数的泰勒展开式 70

题型4-6泰勒公式用于确定无穷小量主部和导数计算 71

题型4-7未定型（或不定式）的极限 73

题型4-8函数单调性与凹凸性的判别 75

题型4-9极值问题 78

题型4-10最值问题 79

题型4-11求曲线的渐近线 80

题型4-12求曲线的曲率 81

题型4-13函数的作图 81

4.4知识扩展 82

习题4 83

部分答案与提示 87

第5章 不定积分 89

5.1基本要求 89

5.2学习指导 89

5-1在区间（a,b）内有间断点的函数是否存在原函数 89

5-2如何理解公式∫1/xdx=1n|x|＋C（x≠ 0） 89

5-3如何理解计算不定积分时使用的方法不同导致的答案不一样 90

5-4初等函数的原函数是否还是初等函数 90

5-5常见的计算错误 90

5-6不定积分法的选择要领 91

5-7注意扩充基本积分表 91

5.3解题指导 91

题型5-1用分项积分法计算不定积分 91

题型5-2用凑微分法计算不定积分 92

题型5-3用换元法计算不定积分 96

题型5-4用分部积分法计算不定积分 98

题型5-5求有理函数的不定积分 100

题型5-6一题多解举例 103

题型5-7分段函数的积分 106

题型5-8概念与性质的综合问题 107

5.4知识扩展 108

习题5 109

部分答案与提示 112

第6章 定积分 115

6.1基本要求 115

6.2学习指导 115

6-1能利用定积分概念解决问题的特点 115

6-2如果f（x）在闭区间[a,b]上有界，那么f（x）在闭区间[a,b]上一定可积吗 115

6-3如果|f（x）|在闭区间［a,b]上可积，那么f（x）在闭区间[a，b]上一定可积吗 115

6-4函数可积与存在原函数是不是一回事 116

6-5为什么说牛顿-莱布尼兹公式是微积分基本公式 116

6-6对称区间上的连续奇函数的原函数都是偶函数吗 116

6-7对称区间上的连续偶函数的原函数都是奇函数吗 116

6-8连续周期函数的原函数都是周期函数吗 117

6-9反常积分与定积分的关系 117

6-10能否将定积分中“对称性方法”用在反常积分上 117

6.3解题指导 117

题型6-1用牛顿-莱布尼兹公式（简称N-L公式）计算定积分 117

题型6-2用换元法求定积分 118

题型6-3用分部积分法求定积分 119

题型6-4求对称区间上的定积分 120

题型6-5求周期函数的定积分 121

题型6-6求分段函数的定积分 123

题型6-7利用几个定积分公式求某些定积分 124

题型6-8利用定积分求某些n项和的数列的极限 125

题型6-9求变限积分函数的导数 127

题型6-10定积分等式的证明 128

题型6-11与定积分有关的方程的根的存在性问题或中值问题 130

题型6-12定积分不等式的证明 134

题型6-13求含变限积分或定积分的极限 139

题型6-14讨论变限积分函数的基本性质 141

题型6-15求分段函数的变限积分 144

题型6-16求解包含f（x）的积分方程 145

题型6-17求无穷区间上的反常积分 147

题型6-18求无界函数的反常积分 148

题型6-19求混合型反常积分 149

题型6-20求平面区域的面积 150

题型6-21求立体的体积 151

题型6-22求平面曲线的弧长 152

题型6-23定积分的物理应用 153

题型6-24定积分的应用与最大（小）值相结合的问题 155

6.4知识扩展 156

习题6 157

部分答案与提示 163

第7章 常微分方程 165

7.1基本要求 165

7.2学习指导 165

7-1方程分类与解法对应总览 165

7-2微分方程的通解、特解与奇解（奇异解） 166

7-3如何求二阶齐次常系数线性微分方程y″＋ay′+by=0的通解 167

7-4如何求二阶非齐次常系数线性微分方程y″+ay′+by= f （x）的通解 167

7.3解题指导 167

题型7-1求一阶微分方程的通解或特解 167

题型7-2积分方程求解 171

题型7-3高阶可降阶微分方程求解 172

题型7-4二阶常系数线性微分方程求解 173

题型7-5高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程的求解 175

题型7-6已知微分方程的解，反求常系数线性微分方程 176

题型7-7微分方程的几何应用 176

题型7-8微分方程的物理应用 177

题型7-9微分方程综合问题 179

题型7-10变系数线性微分方程（主要是欧拉方程）的求解 180

题型7-11已知微分方程的通解，求其所满足的微分方程 182

7.4知识扩展 183

习题7 184

部分答案与提示 186

第8章 矢量代数与空间解析几何 189

8.1基本要求 189

8.2学习指导 189

8-1矢量与数量的比较 189

8-2数量积、矢量积、混合积的比较 190

8-3平面方程的四种形式 190

8-4直线方程的四种形式 191

8-5直线、平面间的位置关系 191

8-6柱面和旋转面的方程特征 192

8-7如何求空间点或曲线在其他图形上的投影点或投影线 192

8.3解题指导 192

题型8-1矢量的性质与运算 192

题型8-2矢量方法的应用 195

题型8-3求平面方程 196

题型8-4求直线方程 199

题型8-5直线、平面间的位置关系 201

题型8-6点到直线与点到平面的距离 202

题型8-7求旋转曲面的方程 204

题型8-8求空间曲线在坐标平面上的投影 205

8.4知识扩展 206

习题8 206

部分答案与提示 210

第9章 多元函数微分学 212

9.1基本要求 212

9.2学习指导 212

9-1多元函数极限与一元函数极限的对比 212

9-2多元函数的连续与对其单个变量连续的关系 213

9-3在某点的连续、偏导存在、方向导数存在及可微等的相互关系 213

9-4任给一对连续函数u（x,y）,v（x,y），是否一定存在函数z= f （x, y），使得zx=u（x,y）,zy=v（x,y） 213

9-5如果函数z= f （x, y）的两个偏导数？f/？x，？f/？y都存在，则？f/？xdx＋？f/？ydy是否一定是函数z=f（x,y）的全微分dz 213

9-6条件极值与拉格朗日乘数法 214

9-7怎样理解梯度概念 214

9.3解题指导 214

题型9-1多元极限的存在性问题 214

题型9-2连续、偏导存在、可微的判定问题 215

题型9-3复合函数求导 218

题型9-4隐函数求导 222

题型9-5几何应用——空间曲线的切线和空间曲面的切平面 225

题型9-6方向导数与梯度 227

题型9-7求多元函数的（无条件）极值 228

题型9-8求有界闭区域上连续函数的最大值与最小值 230

题型9-9最值的应用问题 231

9.4知识扩展 233

习题9 234

部分答案与提示 237

第10章 重积分 239

10.1基本要求 239

10.2学习指导 239

10-1如何在直角坐标系下将二重积分化为逐次积分 239

10-2在什么情况下采用极坐标代换计算二重积分 240

10-3如何利用对称性化简重积分 240

10-4如何利用几何意义与重心公式计算重积分 241

10-5如何在直角坐标系下将三重积分化为二重积分及定积分 242

10-6在什么情况下采用柱面坐标代换计算三重积分，如何定限 242

10-7在什么情况下采用球面坐标代换计算三重积分，如何定限 243

10-8分析以下两个重积分的处理方法是否正确 243

10-9不绘制空间图形可否确定出三重积分依“先一后二”法的积分限 243

10.3解题指导 244

题型10-1在直角坐标系下计算二重积分 244

题型10-2在极坐标系下计算二重积分 246

题型10-3结合对称性计算二重积分 248

题型10-4交换积分次序或两种坐标系中的二次积分的转换 251

题型10-5在直角坐标系下计算三重积分 254

题型10-6在柱面坐标系下计算三重积分 255

题型10-7在球面坐标系下计算三重积分 256

题型10-8利用对称性计算三重积分 257

题型10-9改变积分次序或坐标系计算三重积分 258

题型10-10求分段函数的重积分 259

题型10-11利用形心计算重积分 261

题型10-12利用一般变量代换计算重积分 262

题型10-13重积分的不等式或等式的证明 264

题型10-14变区域重积分问题 265

题型10-15重积分的几何应用举例 266

题型10-16重积分的物理应用 267

10.4知识扩展 269

习题10 269

部分答案与提示 273

第11章 曲线积分与曲面积分 275

11.1基本要求 275

11.2学习指导 275

11-1第一型曲线积分的计算方法 275

11-2第一型曲面积分的计算方法 276

11-3关于第一型曲线积分的对称性 276

11-4关于第一型曲面积分的对称性 276

11-5如何利用几何意义与重心公式计算第一型曲线及曲面积分 277

11-6将第二型曲线积分化为定积分的要点是什么 277

11-7如何选择第二型平面线积分的计算方法 277

11-8第二型空间曲线积分I＝∫LF·dr＝∫LPdx＋Qdy＋R dz的计算步骤 278

11-9将第二型曲面积分化为二重积分的要点 279

11-10两类曲面积分的关系 280

11-11如何将组合型的第二型曲面积分化为单一型的第二型曲面积分 280

11-12如何选择第二型曲面积分的计算方法 280

11-13什么是有势场、无旋场、保守场、无源场、调和场 281

11-14关于场论的几个结论 282

11.3解题指导 282

题型11-1第一型曲线积分的计算 282

题型11-2第一型曲面积分的计算 284

题型11-3第一型曲线积分与曲面积分的物理应用 285

题型11-4第二型平面曲线积分的计算 286

题型11-5利用曲线积分与路径无关的条件求函数 294

题型11-6第二型曲面积分的计算 295

题型11-7第二型空间曲线积分的计算 299

题型11-8第二型线、面积分的物理应用举例 302

题型11-9梯度、散度、旋度的综合计算 303

11.4知识扩展 305

习题11 307

部分答案与提示 313

第12章 无穷级数 315

12.1基本要求 315

12.2学习指导 315

12-1在一个级数中是否可以任意添加括号（即结合律） 315

12-2发散级数的通项是否一定不趋于零 316

12-3对正项级数，应如何选择适当的判别法来讨论其敛散性 316

12-4对任意项级数∞∑n=1an与∞∑n＝1bn，若limn→∞bn/an=1，是否可以说级数∞∑n=1an与∞∑n=1bn的敛散性相同 316

12-5对交错级数∞∑n=1（-1）nan（an ＞ 0），若an趋于零，但不是单调减少的，该级数是否就不收敛 316

12-6两个绝对收敛的级数之和是否为绝对收敛，两个条件收敛的级数之和是否为条件收敛，条件收敛的级数与绝对收敛的级数之和又如何 317

12-7如何求幂级数∞∑n=0an（x—x0）n的收敛半径 317

12-8如果幂级数∞∑n=0anxn和∞∑n=0bnxn的收敛半径分别为R1 ,R2，它们的和级数∞∑n=0（an+bn） xn的收敛半径一定为R=min{R1,R2}吗 318

12-9幂级数经逐项求导或逐项积分后，其收敛半径、收敛区间和收敛域会发生变化吗 318

12-10 f（x）的泰勒级数在收敛域内一定处处收敛于f（x）吗 318

12-11如何理解函数的幂级数展开式的唯一性 318

12-12学习傅里叶级数的要点 319

12.3解题指导 319

题型12-1计算数项级数的部分和与数项级数的和 319

题型12-2利用数项级数的性质讨论敛散性 320

题型12-3用正项级数∞∑n=1an的比值法或根值法判敛散 321

题型12-4使用比较判别法及其极限形式判别正项级数的敛散性 322

题型12-5使用积分判别法判别正项级数的敛散性 324

题型12-6判定变号级数∞∑n=1un（或者称为任意项级数）的敛散性 325

题型12-7证明包含有抽象的通项的数项级数的敛散性 327

题型12-8求幂级数的收敛半径及收敛域 328

题型12-9将函数展开为幂级数 331

题型12-10求幂级数的和函数 333

题型12-11利用幂级数求数项级数的和 335

题型12-12将区间［-π,π]（或（-π，π]，［-π，π），（-π，π）等）上的函数f（x）展开为傅里叶级数 336

题型12-13将区间[0,π]上的函数展开为正弦（余弦）级数 338

题型12-14将区间［-l,l]上的函数f（x）展开为傅里叶级数，以及将区间［0,l]上的函数f （x）展开为正弦（或余弦）级数 340

题型12-15求f（x）的傅里叶级数的和函数S（x）或和函数S（x）在某点处的值 341

12.4知识扩展 342

习题12 343

部分答案与提示 346