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第1章 实数与数列极限 1

1.0预备知识 1

1.0.1一些常用的记号 1

1.0.2逻辑命题的否命题 1

1.0.3特殊的数集 2

1.1实数的基本性质与常用不等式 3

1.1.1实数的基本性质 3

1.1.2一些常用的不等式 4

1.2数列与数列极限的概念 6

1.2.1数列的定义 6

1.2.2数列极限的定义 7

1.3收敛数列的性质 12

1.3.1收敛数列的重要性质 12

1.3.2无穷小与无穷大数列 17

1.4发散数列与子列的概念 19

1.4.1发散数列 19

1.4.2数列的子列的概念 19

1.5确界原理 21

1.5.1有界集、上确界和下确界的概念 21

1.5.2确界的数列刻画 23

1.5.3数集确界的存在性与唯一性 24

1.6数列收敛的判别法 26

1.6.1迫敛性定理 26

1.6.2单调有界定理 26

1.6.3致密性定理与Cauchy收敛准则 29

小结 33

复习题 34

第2章 函数与函数极限 36

2.0预备知识 36

2.1映射与函数的概念 37

2.1.1映射的概念 37

2.1.2函数的概念 37

2.1.3函数的四种特性 39

2.1.4函数的基本运算 41

2.1.5反函数 42

2.1.6初等函数 42

2.2x→∞时函数极限的概念 45

2.2.1引例 45

2.2.2x趋于∞时的函数极限的定义 46

2.2.3三种函数极限的关系 47

2.2.4典型例子 48

2.3x→x0时函数极限的概念 49

2.3.1引例 49

2.3.2x趋于x0时函数极限的定义 50

2.3.3三种函数极限的关系 51

2.3.4典型例子 52

2.4函数极限的性质 54

2.5函数极限存在的判别法 59

2.5.1迫敛性定理 59

2.5.2归结原则——Heine定理 62

2.5.3函数的单调有界定理 65

2.5.4Cauchy准则 66

2.6无穷小量和无穷大量 68

2.6.1无穷大量与无穷小量的定义与性质 68

2.6.2无穷小量的比较 70

小结 73

复习题 75

第3章 函数的连续性 77

3.1连续函数的概念 77

3.1.1函数在一点x0连续的定义 77

3.1.2函数的左连续与右连续及区间上的连续函数 78

3.1.3典型例子 79

3.2函数间断的概念 81

3.2.1间断点的定义及其分类 81

3.2.2典型例子 82

3.3连续函数的局部性质与初等函数的连续性 84

3.3.1局部性质 84

3.3.2初等函数的连续性 85

3.3.3应用函数的连续性求函数极限 87

3.4连续函数的整体性质 89

3.4.1有界性定理和最值定理 89

3.4.2零点定理与介值定理 91

3.4.3一致连续性定理 93

小结 97

复习题 98

第4章 微分与导数 100

4.1微分与导数的概念 100

4.1.1微分的概念 100

4.1.2导数的概念 103

4.1.3可微与可导的关系 105

4.1.4可微函数与可导函数 106

4.2求导方法与导数公式 107

4.2.1用定义求函数的导数 107

4.2.2导数的四则运算法则 109

4.2.3反函数求导法则 111

4.2.4复合函数求导法则 112

4.3微分的计算与应用 115

4.3.1微分的运算法则 115

4.3.2微分在近似计算中的应用 116

4.4高阶导数与高阶微分 119

4.4.1高阶导数 119

4.4.2高阶微分 121

4.5参数方程所表示的函数的导数 123

4.5.1参数方程与函数 123

4.5.2用参数方程表示的函数的导数 124

4.5.3用极坐标方程表示的曲线的切线 125

4.5.4参数方程所表示的函数的高阶导数 126

小结 127

复习题 128

第5章 导数的应用 130

5.1Fermat定理和Darboux定理 130

5.1.1极值的定义与Fermat定理 130

5.1.2Darboux定理 131

5.2中值定理 132

5.2.1Rolle中值定理 132

5.2.2Lagrange中值定理 133

5.2.3Cauchy中值定理 135

5.3不定式极限 138

5.3.1L’Hospital法则 138

5.3.2其他类型的不定式极限 142

5.4Taylor公式 145

5.4.1带Peano型余项的Taylor公式 145

5.4.2带Lagrange型余项的Taylor公式 147

5.4.3若干初等函数的Maclaurin公式 148

5.4.4Taylor公式应用举例 151

5.5函数的单调性与凸性 153

5.5.1函数的单调性 154

5.5.2函数的凸性 155

5.5.3曲线的拐点 159

5.5.4单调性与凸性的应用——证明一些不等式 160

5.6函数的极值与最值 164

5.6.1函数的极值 164

5.6.2函数的最值 166

5.7函数作图 169

5.7.1渐近线 169

5.7.2函数图形的描绘 171

小结 174

复习题 174

第6章 实数集的稠密性与完备性 177

6.1实数集的稠密性 177

6.1.1两个实数的大小关系 177

6.1.2实数集的稠密性 179

6.2实数集的完备性 181

6.2.1区间套定理 181

6.2.2有限覆盖定理 183

6.2.3聚点定理 185

6.2.4实数集完备性基本定理的等价性 187

6.3上极限和下极限简介 189

小结 191

复习题 192

习题答案或提示 193

参考文献 203

附录 204

索引 210