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第一章 微商 1

1.1 微积分研究什么 1

1.1.1 微积分与初等数学研究对象的比较 1

1.1.2 微积分研究的两类典型问题 2

1.2 预备知识 3

1.2.1 逻辑符号 3

1.2.2 邻域 3

1.2.3 不等式 3

1.2.4 数列极限 5

习题1-2 12

1.3 函数 13

1.3.1 函数的概念 13

1.3.2 函数的运算 15

1.3.3 函数的改变量与差商 16

1.3.4 复合运算·复合函数 17

1.3.5 函数的几种特性 19

1.3.6 函数模型 21

习题1-3 25

1.4 函数的极限 28

1.4.1 x→x0时函数f（x）的极限 28

1.4.2 函数极限的运算与性质 33

1.4.3 第一个重要极限 36

习题1-4 37

1.5 函数的连续性 39

1.5.1 连续与间断的直观描述 39

1.5.2 连续与间断的定义 40

1.5.3 初等函数的连续性 45

1.5.4 闭区间上连续函数的性质 47

习题1-5 48

1.6 函数在无穷远处的极限 50

1.6.1 x→∞时函数f（x）的极限 50

1.6.2 第二个重要极限 54

习题1-6 57

1.7 无穷小量及其比较 58

1.7.1 无穷小量 58

1.7.2 无穷小量的比较 59

习题1-7 62

1.8 微商 63

1.8.1 微积分的典型问题之一——切线问题 63

1.8.2 微商概念 65

1.8.3 可微性与连续性 71

1.8.4 数学怪物——科赫（Koch）雪花曲线·分形几何学简介 73

习题1-8 75

第一章的重要概念与公式 76

总练习题一 77

第二章 微分法 81

2.1 微商的运算法则 81

2.1.1 基本微商公式 81

2.1.2 函数和、差、积、商的微商法则 81

2.1.3 反函数微商法则 85

2.1.4 复合函数微商法则 87

2.1.5 隐微分法 89

习题2-1 91

2.2 高阶微商 93

2.2.1 高阶微商 93

2.2.2 关于函数乘积微商的莱布尼茨（Leibniz）公式 96

习题2-2 97

2.3 微分及其应用 98

2.3.1 微分及其运算 98

2.3.2 微分的应用 102

习题2-3 110

第二章的重要概念与公式 112

总练习题二 113

第三章 微商的应用 116

3.1 微分中值定理 116

3.1.1 函数的极值与费马（Fermat）引理 116

3.1.2 微分中值定理 117

3.1.3 微分中值定理的证明 121

习题3-1 122

3.2 用微商研究函数 123

3.2.1 函数单调性的判别法 123

3.2.2 函数极值的检验法 126

3.2.3 曲线的凸性与拐点 129

3.2.4 函数作图 131

习题3-2 135

3.3 最优化问题 136

3.3.1 最大值、最小值 136

3.3.2 最优化问题 137

习题3-3 142

3.4 相对变化率与相关变化率 143

3.4.1 边际与边际分析 143

3.4.2 弹性与弹性分析 146

3.4.3 相关变化率 150

习题3-4 151

3.5 洛必达（L'Hospital）法则 153

3.5.1 洛必达法则 153

3.5.2 洛必达法则的证明 157

3.5.3 其他类型不定式的极限 158

习题3-5 161

第三章的重要概念与公式 162

总练习题三 163

第四章 积分及其应用 168

4.1 定积分 168

4.1.1 微积分的典型问题之二——面积问题 168

4.1.2 定积分概念 169

4.1.3 可积的充分条件 171

习题4-1 172

4.2 定积分与原函数的关系 172

4.2.1 直观背景 172

4.2.2 原函数与不定积分 174

4.2.3 微积分基本定理 178

习题4-2 181

4.3 定积分的性质 183

习题4-3 188

4.4 积分法 189

4.4.1 直接积分法 189

4.4.2 换元积分法 191

4.4.3 分部积分法 205

4.4.4 积分表的使用 210

4.4.5 数值积分法 211

习题4-4 215

4.5 定积分的应用 218

4.5.1 反常积分 218

4.5.2 面积、体积、弧长的计算 224

4.5.3 定积分在经济管理与社会科学中的应用 233

习题4-5 236

第四章的重要概念与公式 238

总练习题四 239

第五章 微分方程与差分方程 246

5.1 微分方程基础 246

5.1.1 实际背景 246

5.1.2 基本概念 249

习题5-1 251

5.2 一阶微分方程 251

5.2.1 可分离变量的微分方程 251

5.2.2 齐次（微分）方程 253

5.2.3 一阶线性微分方程 255

5.2.4 微分方程的应用（连续模型） 260

习题5-2 263

5.3 二阶微分方程 265

5.3.1 可降阶的二阶微分方程 266

5.3.2 二阶常系数线性微分方程 267

5.3.3 微分方程组 274

习题5-3 278

5.4 差分方程 280

5.4.1 差分方程基础 280

5.4.2 一阶常系数线性差分方程 283

5.4.3 二阶常系数线性差分方程 286

5.4.4 差分方程的应用（离散模型） 288

习题5-4 296

第五章的重要概念与公式 297

总练习题五 298

第六章 多元函数微分学 302

6.1 曲面与空间曲线 302

6.1.1 空间直角坐标系 302

6.1.2 曲面 306

6.1.3 空间曲线 308

6.1.4 向量及其运算 311

习题6-1 316

6.2 多元函数 317

6.2.1 多元函数概念 317

6.2.2 等高线·等产量线 319

6.2.3 二元函数的极限与连续 320

习题6-2 320

6.3 偏微商 322

6.3.1 偏微商与全微分 322

6.3.2 偏微商的应用 325

6.3.3 高阶偏微商 328

习题6-3 329

6.4 多元复合函数微分法 330

6.4.1 多元复合函数微分法 330

6.4.2 隐微分法 334

习题6-4 337

6.5 最优化问题 339

6.5.1 二元函数的极值 339

6.5.2 无约束最优化问题 341

6.5.3 约束最优化问题 342

6.5.4 最小二乘法与数学建模 347

6.5.5 线性规划 352

习题6-5 355

第六章的重要概念与公式 357

总练习题六 358

第七章 二重积分 361

7.1 二重积分概念 361

7.1.1 实际背景 361

7.1.2 二重积分定义 362

7.1.3 二重积分的性质 363

习题7-1 365

7.2 二重积分的计算 366

7.2.1 在直角坐标下计算二重积分 366

7.2.2 在极坐标下计算二重积分 371

习题7-2 374

7.3 二重积分的应用 376

7.3.1 用二重积分计算概率积分？e-x2 dx 376

7.3.2 用二重积分计算体积与面积 377

7.3.3 二重积分在社会科学中的应用 380

习题7-3 382

第七章的重要概念与公式 382

总练习题七 383

第八章 无穷级数 386

8.1 数项级数 386

8.1.1 基本概念 386

8.1.2 基本性质·级数收敛的必要条件 392

8.1.3 正项级数的收敛检验法 393

8.1.4 交错级数·莱布尼茨检验法 398

8.1.5 绝对收敛·条件收敛 400

习题8-1 401

8.2 幂级数 403

8.2.1 幂级数概念与性质 403

8.2.2 幂级数的收敛半径 404

8.2.3 幂级数的运算 407

习题8-2 410

8.3 泰勒（Taylor）级数 411

8.3.1 问题的提出 411

8.3.2 泰勒公式 414

8.3.3 函数的泰勒展开式 417

8.3.4 泰勒级数的应用 420

习题8-3 423

第八章的重要概念与公式 425

总练习题八 426

附录一 MATLAB基础知识简介 430

1 MATLAB快速入门 430

2 变量与数据 431

3 MATLAB库函数 433

4 逻辑运算与控制语句 435

5 M文件与M函数 438

附录二 数学实验 440

实验一 方程根的近似计算 440

实验二 一元函数图形的绘制 442

实验三 数值积分 445

实验四 微分方程的数值解法 447

实验五 空间图形的绘制 450

实验六 利用泰勒级数作近似计算 452

实验七 综合设计实验——绘制科赫雪花曲线 454

附录三 常用几何曲线 456

附录四 积分表 459

习题答案 468

名词术语索引 496

参考文献 501