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第零章 予备知识 1

集 1

子集和余；并和交 2

关系 6

——关系运算，等价关系 11

函数 11

序 14

——序完备集，链，保序函数的扩张代数概念 18

实数 20

——整数，归纳法定义，b-进制展式可数集 26

——子集，并，实数集 29

基数 29

——希洛特-伯恩斯坦定理 31

序数 31

——第一不可数序数 32

卡的逊乘积 32

豪司道夫极大原理 33

——极大原理，库拉托夫斯基-迟翁引理，选择公理，良序原理第一章 拓扑空间拓扑和邻域 39

——拓扑的比较，一点的邻域系闭集 42

聚点 42

闭包 44

——库拉托夫斯基闭包算子内核和边界 45

基和子基 48

——具有可数基的拓扑，林登洛夫定理相对化；隔离性 52

连通集 55

——分支 57

问题 57

——A．最大和最小拓扑 65

B．邻域系构成拓扑 65

C．内核算子构成拓扑 65

D．T1-空间中聚点 65

E．库拉托夫斯基闭包和余的问题F．具有可数基空间的习题G．稠密集的习题H．聚点I．序拓扑J．实数的性质K．半开区间空间L．半开矩形空间M．关于第一和第二可数性公理的例（序数）N．可数链条件O．欧几里德平面P．分支的例Q．隔离集的定理R．连通集的有限链定理S．局部连通空间T．勃劳瓦约化定理第二章 摩尔一司密斯收敛引言 65

有向集和网 68

——极限的唯一性，累次极限子网和丛点 73

序列和子序列 75

收？类 76

——收？确定拓扑 79

问题 79

——A．序列的习题 90

B．序列不适应的例 90

C．豪司道夫空间的习题：门空间D．子序列的习题E．共尾子集不适应的例F．单调网G．积分理论，初级部分H．积分理论，应用部分I．格的极大理想J．万有网K．布尔环：存在足够的同态映射L．渗透第三章 乘积和商空间连续函数 90

——连续的特征，同胚映射乘积空间 95

——函数表示乘积，坐标收？，可数性商空间 100

——开和闭映射，上半连续分解问题 106

——A．连通空间 119

B．关于连续的定理 119

C．连续函数的习题 119

D．在一点处连续；连续扩张E．实值连续函数的习题F．上半连续函数G．拓扑等价的习题H．同胚映射和一对一连续映射I．两个变量的逐个连续性J．欧几里德n-空间的习题K．乘积中闭包，内核和边界的习题L．乘积空间的习题M．具有可数基空间的乘积N．乘积和隔离性的例O．连通空间的乘积P．T1-空间的习题Q．商空间的习题R．商空间和对角线序列的例S．拓扑群T．拓扑群的子群U．商群和同态映射V．框空间W．实线性空间上的泛函X．实线性拓扑空间第四章 嵌入和度量化连续函数的存在性 119

——吉洪诺夫引理，乌里松引理嵌入长方体 122

——嵌入引理，吉洪诺夫空间度量和伪度量空间 125

——度量拓扑，可数乘积 131

度量化 131

——乌里松度量化定理，局部有限复盖，加细，可度量的特征问题 137

——A．正则空间 143

B．在度量空间中函数的连续性C．度量问题D．子集的豪司道夫度量E．正规空间乘积的例（序数）F．正规空间子空间的例（吉洪诺夫板）G．商的乘积和非正则豪司道夫空间的例H．可继承性，可乘性，和可除性I．半开区间空间J．实连续函数的零点集K．完全正规空间L．完全正规空间的特征M．正规空间的上半连续分解第五章 紧空间等价命题 143

——有限交性质，丛点，亚力山大子基定理紧性和隔离性 148

——豪司道夫紧性，正则和完全正则空间紧空间的乘积 150

——吉洪诺夫乘积定理 153

局部紧空间 153

商空间 155

——以紧成员作上半连续分解紧化 156

——亚力山大洛夫一点紧化，斯冬-西赫紧化勒贝格复盖引理 161

——齐复盖 163

仿紧性 163

问题 168

——A．紧空间上实函数的习题B．紧子集C．相对于序拓扑的紧性D．紧度量空间的等距映射E．可数紧和列紧空间F．紧性；紧连通集的交G．局部紧的问题H．紧性的套特征I．完全聚点J．单位正方形字典序的例K．正规性和乘积的例（序数）L．超限线M．赫利空间的例N．闭映射和局部紧的例O．康托空间P．斯冬-西赫紧化的特征Q．紧化的例（序数）R．华尔曼紧化S．布尔环：斯冬表示定理T．紧连通空间（链理论）U．全正规空间V．点有限复盖和亚紧空间W．单位分解X．半连续函数的介值定理Y．仿紧空间第六章 一致空间一致族和一致拓扑 184

——邻域，基和子基 189

一致连续；乘积一致族 189

——一致同构映射，相对化，乘积度量化 193

——可度量的特征，一致族的量规完备性 199

——哥西网，函数的扩张 205

完备化 205

——存在性和唯一性 206

紧空间 206

——一致族的唯一性，全有界性仅考虑度量空间 209

——贝尔定理，范畴的局部化，一致开映射问题 213

——A．闭关系的习题 229

B．两个一致空间乘积的习题C．散不可度量的一致空间D．具有套基的一致空间的习题E．极不完备空间（序数）的习题F．关于全有界性的子基定理G．若干极端的一致族H．一致邻域系I．离差和度量J．一致复盖系K．拓扑完备空间：可度量空间L．拓扑完备空间：可一致化空间M．散子空间理论；可数紧性N．不变度量O．拓扑群：一致群和度量化P．拓扑群的殆开子集Q．拓扑群的完备化R．同态映射的连续性和开性：闭图定理S．可和性T．一致局部紧空间U．一致有界定理V．布尔σ-环第七章 函数空间逐点收？ 229

——拓扑和一致族，紧性 233

紧开拓扑和联合连续性 233

——联合连续拓扑的唯一性，紧开拓扑的紧空间一致收？ 237

——集族上一致收？，完备性紧统上一致收？ 241

——拓扑，紧性，k-空间紧性和等度连续 243

——阿斯高利定理 246

齐连续 246

——拓扑的阿斯高利定理问题 249

——A．逐点收？拓扑的习题B．函数收？的习题C．稠密子集上的逐点收？D．对角线法和列紧性E．地尼定理F．诱导映射的连续性G．一致等度连续H．一致族U｜A的习题I．赋值的连续性J．k-空间的子空间，乘积，和商K．拓扑的k-扩张L．齐连续的特征M．连续收？N．赋范线性空间的伴随O．铁兹扩张定理P．C（X）的线性子空间的稠密引理Q．巴拿哈代数的平方根引理R．斯冬-外尔斯脱拉斯定理S．C（X）的结构T．群的紧化；殆周期函数附录 基本集论分类公理系统 265

——广延公理和分类公理系统分类公理系统（续） 267

类的基本代数 268

集的存在性 271

——子集公理，并公理，无序对有序对；关系 273

函数 274

——代入公理，合并公理良序 277

——保序函数的存在性和唯一性序数 281

——正则公理，序数的结构，超限归纳法整数 286

——无限性公理，整数的庇亚诺假设选择公理 287

——极大原理 289

基数 289