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第1章　引论 1

1.1　算法 1

1.1.1　研究算法的意义 1

1.1.2　算法 2

1.1.3　多项式求值的秦九韶方法 3

1.1.4　方程求根的二分法 4

1.2　误差 6

1.2.1　误差分析 6

1.2.2　误差的来源 7

1.2.3　误差限和有效数字 8

1.2.4　相对误差限与有效数字的联系 9

1.2.5　数值计算中应注意的几个原则 9

1.2.6　算法的评价标准 12

习题一 12

第2章　插值方法 14

2.1　泰勒插值 14

2.2　拉格朗日插值公式 15

2.2.1　拉格朗日插值待定系数方法 15

2.2.2　拉格朗日插值计算公式 16

2.2.3　拉格朗日插值余项公式 19

2.3　牛顿插值公式 19

2.3.1　差商及其性质 19

2.3.2　差商形式的插值公式 20

2.4　埃尔米特（Hermite）插值 21

2.5　分段插值 22

2.5.1　高次插值的龙格现象 22

2.5.2　分段插值方法 23

2.6　样条函数 23

2.6.1　样条函数的概念 23

2.6.2　三次样条插值 24

2.7　曲线拟合的最小二乘法 26

2.7.1 直线拟合 26

2.7.2　多项式拟合 27

2.7.3 一点注记 27

2.8　实例——冶炼钢中含碳量与时间模型 29

习题二 30

第3章　数值积分 33

3.1　机械求积 33

3.1.1　数值求积的基本思想 33

3.1.2　代数精度的概念 34

3.1.3　插值型的求积公式 35

3.2　牛顿-柯特斯公式 37

3.2.1　公式的导出 37

3.2.2　几种低阶求积公式的代数精度 38

3.2.3　几种低阶求积公式的余项 38

3.2.4　复化求积法 39

3.3　龙贝格算法 41

3.3.1　梯形法的递推化 41

3.3.2　龙贝格算法 42

3.4　高斯公式 45

3.4.1　高精度求积公式 45

3.4.2　高斯点的基本特征 45

3.4.3　勒让德多项式 46

3.5　数值微分 47

3.5.1 中点方法 47

3.5.2　插值型的求导公式 48

3.6　实例——计算人造卫星的轨道周长 49

习题三 49

第4章 常微分方程数值解 52

4.1 引言 52

4.2　欧拉法 52

4.2.1　欧拉公式 52

4.2.2　隐式欧拉法 55

4.2.3　两步欧拉法 56

4.3　改进的欧拉法 56

4.3.1　梯形法 56

4.3.2　改进欧拉公式 57

4.4　龙格-库塔法 58

4.4.1 龙格-库塔法的基本思想 58

4.4.2　二阶龙格-库塔法 59

4.4.3　三阶龙格-库塔法 60

4.4.4　四阶龙格-库塔法 61

4.5　线性多步法 63

4.5.1　线性多步法的构造 63

4.5.2　Adams预报校正公式 66

4.6　收敛性与稳定性 66

4.6.1 收敛性 66

4.6.2　稳定性 67

4.7　方程组与高阶方程的情形 68

4.7.1　一阶方程组 68

4.7.2　化高阶方程为一阶方程组 70

4.7.3　一点注记 70

4.8　实例——捕食者和被捕食者模型 73

习题四 74

第5章　有限元法 76

5.1　边值问题的变分形式 76

5.1.1　二次泛函的极值 76

5.1.2　边值问题转化为变分问题 77

5.2　瑞兹-伽略金方法 80

5.3　有限元法 82

5.3.1　从瑞兹法出发进行推导 83

5.3.2　从伽略金法出发进行推导 84

5.4　实例介绍 86

习题五 89

第6章　非线性方程的数值解法 91

6.1　迭代原理 91

6.1.1　迭代法基本思想 91

6.1.2　迭代过程的收敛性 92

6.1.3　迭代过程的收敛速度 94

6.2　迭代过程的加速 95

6.2.1　迭代公式的加工 95

6.2.2　埃特金算法 96

6.3　牛顿法 97

6.3.1　公式导出 97

6.3.2　应用举例 99

6.3.3　牛顿下山法 99

6.4　弦截法 100

6.5　实例——悬链线方程的参数确定问题 101

习题六 102

第7章 线性方程组的数值解法 104

7.1 迭代法 104

7.1.1　雅可比迭代法 104

7.1.2　高斯-赛德尔迭代法 106

7.1.3　超松弛迭代法 107

7.1.4　迭代公式的矩阵表示 107

7.2　向量和矩阵的范数 108

7.2.1　向量的范数 108

7.2.2　矩阵的范数 109

7.2.3　矩阵的谱半径 110

7.3　迭代过程的收敛性 110

7.3.1　迭代收敛的充分条件 110

7.3.2　对角占优方程组 112

7.4 消去法 112

7.4.1　约当消去法 112

7.4.2　高斯消去法 114

7.4.3　选主元法 115

7.5　追赶法 117

7.5.1　三对角方程组 117

7.5.2　追赶法的计算公式 117

7.5.3　追赶法的代数基础 118

7.6 误差分析 120

7.6.1　方程组的病态 120

7.6.2　精度分析 121

7.7　实例——小行星轨道问题 122

习题七 123

自测题一 126

自测题二 128

参考答案 130

附录 实验指导 144

实验一　插值法 144

实验二　数值积分 149

实验三　常微分方程 152

实验四　方程求根 155

实验五　线性方程组的解法 159

参考文献 162