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第1篇 复变函数论 3

第1章 复数及其几何属性 3

1.1复数 3

1.1.1复数的基本概念 3

1.1.2复数的代数运算 5

练习题1.1 9

1.2平面点集 9

1.2.1平面区域 9

1.2.2平面曲线 11

1.2.3单连通域与多连通域 13

练习题1.2 14

1.3复数的应用 14

1.3.1复球面与无穷远点 15

1.3.2复数的应用举例 16

练习题1.3 18

综合练习题1 18

第2章 复变函数及其导数、积分 21

2.1复变函数 21

2.1.1复变函数的概念 21

2.1.2初等复变函数 23

练习题2.1 30

2.2复变函数的极限、连续与导数 30

2.2.1复变函数的极限 30

2.2.2复变函数的连续性 33

2.2.3复变函数的导数 34

练习题2.2 36

2.3复变函数的积分 37

2.3.1复积分的定义 37

2.3.2复积分的存在条件 38

2.3.3复积分的性质 39

2.3.4复积分的计算 40

练习题2.3 43

2.4复变函数的应用举例 43

2.4.1复变函数的物理意义 43

2.4.2复积分的物理意义 45

练习题2.4 45

综合练习题2 46

第3章 解析函数及其相关定理 48

3.1解析函数 48

3.1.1解析的概念 48

3.1.2解析的充要条件 49

练习题3.1 53

3.2柯西积分定理及其推广 54

3.2.1柯西积分定理 54

3.2.2原函数与不定积分 55

3.2.3复合闭路定理 57

练习题3.2 59

3.3柯西积分公式与高阶导数 60

3.3.1柯西积分公式 60

3.3.2高阶导数公式 62

练习题3.3 64

3.4调和函数 64

3.4.1解析函数与调和函数的关系 64

3.4.2解析函数的构造 66

练习题3.4 69

3.5解析函数的应用 69

练习题3.5 72

综合练习题3 72

第4章 复变函数的级数 76

4.1复函数项级数 76

4.1.1复数序列 76

4.1.2复数项级数的概念及其收敛性 77

练习题4.1 80

4.2幂级数 80

4.2.1幂级数的概念 80

4.2.2幂级数的收敛性 81

4.2.3幂级数的运算及性质 85

练习题4.2 87

4.3 Taylor级数 87

4.3.1 Taylor展开定理 87

4.3.2函数展开成幂级数 89

练习题4.3 92

4.4洛朗级数 92

4.4.1双边幂级数及其收敛性 92

4.4.2洛朗级数 94

练习题4.4 98

综合练习题4 99

第5章 留数及其应用 102

5.1孤立奇点 102

5.1.1孤立奇点的概念及其分类 102

5.1.2函数的零点与极点的关系 105

5.1.3函数在无穷远点的性态 107

练习题5.1 110

5.2留数的概念与计算 110

5.2.1留数与留数定理 110

5.2.2留数的计算规则 112

5.2.3无穷远点的留数 115

练习题5.2 117

5.3留数在实积分计算中的应用 118

5.3.1有理函数的积分 118

5.3.2三角函数有理式的积分 119

5.3.3有理函数与三角函数乘积的积分 120

练习题5.3 122

综合练习题5 122

第6章 共形映射 126

6.1共形映射的基本概念 126

6.1.1共形映射的定义 126

6.1.2解析函数的导数的几何意义 128

6.1.3共形映射的基本问题 130

练习题6.1 132

6.2分式线性映射 132

6.2.1基本概念 132

6.2.2性质 135

6.2.3唯一确定分式线性映射的条件 139

6.2.4区域间分式线性映射的建立 140

练习题6.2 144

6.3几个初等函数所构成的映射 144

6.3.1幂函数ω＝zn（n为整数且n≥2） 144

6.3.2指数函数ω＝ ez 147

练习题6.3 149

6.4共形映射的应用 149

6.4.1黎曼存在定理 150

6.4.2 Laplace方程的边值问题 151

练习题6.4 153

综合练习题6 154

第2篇 积分变换 161

第7章Fourier变换及其应用 161

7.1 Fourier级数与积分 161

7.1.1 Fourier级数 161

7.1.2 Fourier积分 164

练习题7.1 168

7.2 Fourier变换 169

7.2.1 Fourier变换的定义 169

7.2.2非周期函数的频谱 170

练习题7.2 172

7.3单位脉冲函数与广义Fourier变换 172

7.3.1 δ函数的概念 173

7.3.2 δ函数的性质 174

7.3.3广义的Fourier变换 176

练习题7.3 178

7.4 Fourier变换及其逆变换的性质 179

7.4.1基本性质 179

7.4.2 Fourier变换的导数与积分 182

7.4.3卷积与卷积定理 184

练习题7.4 188

7.5 Fourier变换的应用 189

练习题7.5 192

综合练习题7 193

第8章Laplace变换及其应用 195

8.1 Laplace变换的概念 195

8.1.1 Laplace变换的定义 196

8.1.2 Laplace变换的存在定理 197

8.1.3周期函数的Laplace变换 198

8.1.4 δ函数的Laplace变换 199

练习题8.1 200

8.2 Laplace逆变换 200

8.2.1反演积分公式 201

8.2.2利用留数计算反演积分公式 201

练习题8.2 203

8.3 Laplace变换的性质 204

8.3.1基本性质 204

8.3.2微分与积分性质 208

8.3.3 Laplace变换的卷积 211

练习题8.3 214

8.4 Laplace变换的若干应用 215

8.4.1利用Laplace变换求微分方程 215

8.4.2电路分析 219

8.4.3线性系统分析 222

练习题8.4 225

综合练习题8 225

第3篇 基于MATLAB的数学实验 231

第9章MATLAB在复变函数与积分变换中的应用 231

9.1 MATLAB简介 231

9.1.1 MATLAB的基本功能 231

9.1.2 MATLAB的指令窗 232

9.1.3 MATLAB的演示窗 236

9.1.4 MATLAB的编辑窗 237

9.1.5 MATLAB的图形窗 239

练习题9.1 243

9.2利用MATLAB求解复变函数与积分变换中的运算 243

9.2.1复数运算和复变函数的图形 243

9.2.2复变函数的极限与导数 251

9.2.3复变函数的积分与留数定理 253

9.2.4复变函数的级数 257

9.2.5 Fourier变换及其逆变换 259

9.2.6 Laplace变换及其逆变换 260

练习题9.2 262

综合练习题9 262

附录A Fourier变换简表 265

附录B Laplace变换简表 270

部分练习题参考答案 275

参考文献 290