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第1章 计算机数学语言概述 1

1.1 数学问题计算机求解概述 1

1.1.1 为什么要学习计算机数学语言 1

1.1.2 数学问题的解析解与数值解 4

1.1.3 数学运算问题软件包发展概述 4

1.1.4 常规计算机语言的局限性 6

1.2 计算机数学语言简介 7

1.2.1 计算机数学语言的出现 7

1.2.2 有代表性的计算机数学语言 8

1.2.3 开放式免费科学运算语言简介 8

1.3 关于本书及相关内容 9

1.3.1 本书框架设计及内容安排 9

1.3.2 MATLAB语言学习方法与资源 10

1.3.3 本课程与其他相关课程的关系 10

1.4 习题 11

参考文献 12

第2章 MATLAB语言程序设计基础 13

2.1 MATLAB程序设计语言基础 14

2.1.1 MATLAB语言的变量与常量 14

2.1.2 数据结构 14

2.1.3 MATLAB的基本语句结构 16

2.1.4 冒号表达式与子矩阵提取 17

2.2 基本数学运算 17

2.2.1 矩阵的代数运算 17

2.2.2 矩阵的逻辑运算 19

2.2.3 矩阵的比较运算 20

2.2.4 解析结果的化简与变换 20

2.2.5 基本数论运算 21

2.3 MATLAB语言的流程结构 23

2.3.1 循环结构 23

2.3.2 条件转移结构 24

2.3.3 开关结构 25

2.3.4 试探结构 26

2.4 函数编写与调试 26

2.4.1 MATLAB语言函数的基本结构 27

2.4.2 可变输入输出个数的处理 30

2.4.3 匿名函数与inline（）函数 30

2.4.4 伪代码与代码保密处理 31

2.5 二维图形绘制 31

2.5.1 二维图形绘制基本语句 31

2.5.2 多纵轴曲线的绘制 34

2.5.3 其他二维图形绘制语句 34

2.5.4 隐函数绘制及应用 35

2.5.5 图形修饰 37

2.5.6 数据文件的读取与存储 38

2.6 三维图形表示 39

2.6.1 三维曲线绘制 39

2.6.2 三维曲面绘制 40

2.6.3 等高线绘制 43

2.6.4 三维隐函数图绘制 45

2.6.5 三维图形视角设置 45

2.6.6 三维曲面的旋转 47

2.7 四维图形绘制 48

2.8 习题 50

参考文献 52

第3章 微积分问题的计算机求解 53

3.1 极限问题的解析解 53

3.1.1 单变量函数的极限 54

3.1.2 区间函数的极限运算 55

3.1.3 多变量函数的极限 56

3.2 函数导数的解析解 57

3.2.1 函数的导数和高阶导数 57

3.2.2 参数方程的导数 59

3.2.3 多元函数的偏导数 60

3.2.4 隐函数的偏导数 61

3.2.5 多元函数的Jacobi矩阵 62

3.2.6 Hess偏导数矩阵 63

3.3 积分问题的解析解 63

3.3.1 不定积分的推导 64

3.3.2 定积分与无穷积分计算 65

3.3.3 多重积分问题的MATLAB求解 65

3.4 函数的级数展开与级数求和问题求解 66

3.4.1 Taylor幂级数展开 66

3.4.2 Fourier级数展开 69

3.4.3 级数求和的计算 72

3.4.4 序列求积问题 73

3.5 曲线积分与曲面积分的计算 74

3.5.1 曲线积分及MATLAB求解 74

3.5.2 曲面积分与MATLAB语言求解 76

3.6 数值微分问题 78

3.6.1 数值微分算法 78

3.6.2 中心差分方法及其MATLAB实现 79

3.6.3 二元函数的梯度计算 80

3.7 数值积分问题 81

3.7.1 由给定数据进行梯形求积 82

3.7.2 单变量数值积分问题求解 84

3.7.3 广义数值积分问题求解 86

3.7.4 积分函数的数值求解 87

3.7.5 双重积分问题的数值解 88

3.7.6 三重定积分的数值求解 91

3.7.7 多重积分数值求解 91

3.8 习题 92

参考文献 96

第4章 线性代数问题的计算机求解 97

4.1 特殊矩阵的输入 97

4.1.1 数值矩阵的输入 98

4.1.2 符号矩阵的输入 102

4.1.3 稀疏矩阵的输入 103

4.2 矩阵基本分析 103

4.2.1 矩阵基本概念与性质 103

4.2.2 逆矩阵与广义逆矩阵 110

4.2.3 矩阵的特征值问题 113

4.3 矩阵的基本变换与分解 116

4.3.1 矩阵的相似变换与正交矩阵 116

4.3.2 矩阵的三角分解和Cholesky分解 117

4.3.3 矩阵的相伴变换、对角变换和Jordan变换 120

4.3.4 矩阵的奇异值分解 124

4.4 矩阵方程的计算机求解 126

4.4.1 线性方程组的计算机求解 126

4.4.2 Lyapunov方程的计算机求解 129

4.4.3 Sylvester方程的计算机求解 132

4.4.4 Riccati方程的计算机求解 133

4.4.5 一类线性不等式的求解 134

4.5 非线性运算与矩阵函数求值 135

4.5.1 面向矩阵元素的非线性运算 135

4.5.2 矩阵函数求值 136

4.5.3 一般矩阵函数的运算 139

4.6 习题 141

参考文献 144

第5章 积分变换与复变函数问题的计算机求解 145

5.1 Laplace变换及其反变换 145

5.1.1 Laplace变换及反变换的定义与性质 145

5.1.2 Laplace变换的计算机求解 146

5.1.3 Laplace变换问题的数值求解 149

5.2 Fourier变换及其反变换 151

5.2.1 Fourier变换及反变换定义与性质 151

5.2.2 Fourier变换的计算机求解 152

5.2.3 Fourier正弦和余弦变换 153

5.2.4 离散Fourier正弦、余弦变换 155

5.2.5 快速Fourier变换 156

5.3 其他积分变换问题及求解 157

5.3.1 Mellin变换 157

5.3.2 Hankel变换及求解 158

5.4 z变换及其反变换 159

5.4.1 z变换及反变换定义与性质 159

5.4.2 z变换的计算机求解 160

5.4.3 双边z变换 161

5.4.4 有理函数z反变换的数值求解 161

5.5 复变函数问题的计算机求解 162

5.5.1 复数矩阵及其变换 162

5.5.2 复变函数的映射 163

5.5.3 Riemann面绘制 163

5.5.4 留数的概念与计算 165

5.5.5 有理函数的部分分式展开 167

5.5.6 基于部分分式展开的Laplace反变换 170

5.5.7 封闭曲线积分问题计算 171

5.6 差分方程的求解 173

5.6.1 一般差分方程的解析求解方法 173

5.6.2 线性时变差分方程的数值解法 175

5.6.3 线性时不变差分方程的解法 176

5.6.4 一般非线性差分方程的数值求解方法 177

5.7 习题 177

参考文献 180

第6章 代数方程与最优化问题的计算机求解 181

6.1 代数方程的求解 181

6.1.1 代数方程的图解法 181

6.1.2 多项式型方程的准解析解法 183

6.1.3 一般非线性方程数值解 186

6.1.4 求解多解方程的全部解 187

6.2 无约束最优化问题求解 190

6.2.1 解析解法和图解法 191

6.2.2 基于MATLAB的数值解法 192

6.2.3 全局最优解与局部最优解 193

6.2.4 利用梯度求解最优化问题 195

6.2.5 带有变量边界约束的最优化问题求解 196

6.3 有约束最优化问题的计算机求解 197

6.3.1 约束条件与可行解区域 197

6.3.2 线性规划问题的计算机求解 198

6.3.3 二次型规划的求解 201

6.3.4 一般非线性规划问题的求解 201

6.4 混合整数规划问题的计算机求解 205

6.4.1 整数线性规划问题的求解 205

6.4.2 整数规划问题的穷举方法 206

6.4.3 一般非线性整数规划问题与求解 207

6.4.4 0-1规划问题求解 210

6.5 线性矩阵不等式问题求解 212

6.5.1 线性矩阵不等式的一般描述 212

6.5.2 Lyapunov不等式 213

6.5.3 线性矩阵不等式问题分类 215

6.5.4 线性矩阵不等式问题的MATLAB求解 216

6.5.5 基于YALMIP工具箱的最优化求解方法 217

6.6 多目标优化问题求解 219

6.6.1 多目标优化模型 219

6.6.2 无约束多目标函数的最小二乘求解 220

6.6.3 多目标问题转换为单目标问题求解 220

6.6.4 多目标优化问题的Pareto解集 223

6.6.5 极小极大问题求解 224

6.6.6 目标规划问题求解 226

6.7 动态规划及其在路径规划中的应用 227

6.7.1 图的矩阵表示方法 227

6.7.2 有向图的路径寻优 227

6.7.3 无向图的路径最优搜索 230

6.7.4 绝对坐标节点的最优路径规划算法与应用 231

6.8 习题 231

参考文献 236

第7章 微分方程问题的计算机求解 237

7.1 常系数线性微分方程的解析解方法 237

7.1.1 线性常系数微分方程解析解的数学描述 237

7.1.2 微分方程的解析解方法 238

7.1.3 线性状态空间方程的解析解 241

7.1.4 特殊非线性微分方程的解析解 241

7.2 微分方程问题的数值解法 242

7.2.1 微分方程问题算法概述 242

7.2.2 四阶定步长Runge-Kutta算法及MATLAB实现 244

7.2.3 一阶微分方程组的数值解 245

7.2.4 微分方程数值解的验证 249

7.3 微分方程转换 249

7.3.1 单个高阶常微分方程处理方法 249

7.3.2 高阶常微分方程组的变换方法 250

7.3.3 矩阵微分方程的变换与求解方法 254

7.4 特殊微分方程的数值解 257

7.4.1 刚性微分方程的求解 257

7.4.2 隐式微分方程求解 259

7.4.3 微分代数方程的求解 262

7.4.4 切换微分方程的求解 264

7.4.5 随机线性微分方程的求解 265

7.5 延迟微分方程求解 268

7.5.1 典型延迟微分方程的数值求解 268

7.5.2 变时间延迟微分方程的求解 270

7.5.3 中立型延迟微分方程的求解 272

7.6 边值问题的计算机求解 273

7.6.1 线性方程边值问题的打靶算法 274

7.6.2 非线性方程边值问题的打靶算法 276

7.6.3 一般边值微分方程的求解方法 277

7.7 偏微分方程求解入门 280

7.7.1 偏微分方程组求解 280

7.7.2 二阶偏微分方程的数学描述 281

7.7.3 偏微分方程的求解界面应用举例 283

7.8 基于Simulink的微分方程框图求解 289

7.8.1 Simulink简介 290

7.8.2 Simulink相关模块 290

7.8.3 微分方程的Simulink建模与求解 292

7.9 习题 297

参考文献 300

第8章 数据插值、函数逼近问题的计算机求解 301

8.1 插值与数据拟合 301

8.1.1 一维数据的插值问题 301

8.1.2 已知样本点的定积分计算 305

8.1.3 二维网格数据的插值问题 306

8.1.4 二维散点分布数据的插值问题 308

8.1.5 高维插值问题 311

8.1.6 基于样本数据点的离散最优化问题求解 312

8.2 样条插值与数值微积分问题求解 313

8.2.1 样条插值的MATLAB表示 313

8.2.2 基于样条插值的数值微积分运算 316

8.3 由已知数据拟合数学模型 318

8.3.1 多项式拟合 319

8.3.2 函数线性组合的曲线拟合方法 320

8.3.3 最小二乘曲线拟合 322

8.3.4 多变量函数的最小二乘函数拟合 324

8.4 已知函数的有理式逼近方法 325

8.4.1 给定函数的连分式展开及基于连分式的有理近似 325

8.4.2 有理式拟合—Padé近似 327

8.5 特殊函数及曲线绘制 330

8.5.1 Γ-函数 330

8.5.2 β-函数 331

8.5.3 Bessel函数 331

8.5.4 Legendre函数 333

8.5.5 Mittag-Leffler函数 334

8.6 信号分析与数字信号处理基础 337

8.6.1 信号的相关分析 337

8.6.2 滤波技术与滤波器设计 339

8.7 习题 342

参考文献 344

第9章 概率论与数理统计问题的计算机求解 345

9.1 概率分布与伪随机数生成 345

9.1.1 概率密度函数与分布函数概述 345

9.1.2 常见分布的概率密度函数与分布函数 346

9.1.3 概率问题的求解 352

9.1.4 随机数与伪随机数 353

9.2 统计量分析 355

9.2.1 随机变量的均值与方差 355

9.2.2 随机变量的矩 356

9.2.3 多变量随机数的协方差分析 357

9.2.4 多变量正态分布的联合概率密度函数及分布函数 358

9.2.5 基于Monte Carlo法的数学问题求解 359

9.3 数理统计分析方法及计算机实现 360

9.3.1 参数估计与区间估计 360

9.3.2 多元线性回归与区间估计 362

9.3.3 非线性函数的最小二乘参数估计与区间估计 363

9.4 统计假设检验 366

9.4.1 统计假设检验的概念及步骤 366

9.4.2 假设检验问题求解 367

9.5 方差分析与主成分分析 369

9.5.1 方差分析 369

9.5.2 主成分分析 373

9.6 习题 375

参考文献 378

第10章 数学问题的非传统解法 379

10.1 集合论、模糊集与模糊推理 379

10.1.1 经典可枚举集合论问题及MATLAB求解 379

10.1.2 模糊集合与隶属度函数 381

10.1.3 模糊推理系统及其MATLAB求解 385

10.2 粗糙集理论与应用 389

10.2.1 粗糙集理论简介 389

10.2.2 粗糙集的基本概念 389

10.2.3 信息决策系统 390

10.2.4 粗糙集数据处理问题的MATLAB求解 392

10.2.5 粗糙集约简的MATLAB程序界面 394

10.3 人工神经网络及其在数据拟合中的应用 395

10.3.1 神经网络基础知识 395

10.3.2 径向基网络结构与应用 403

10.3.3 神经网络界面 405

10.4 进化算法及其在最优化问题中的应用 408

10.4.1 遗传算法的基本概念及MATLAB实现 408

10.4.2 遗传算法在求解最优化问题中的应用举例 409

10.4.3 遗传算法在有约束最优化问题中的应用 414

10.4.4 粒子群优化算法与求解 416

10.4.5 其他全局优化算法 418

10.4.6 求取精确的全局最优解 419

10.4.7 基于遗传算法的混合整数规划求解 419

10.5 小波变换及其在数据处理中的应用 420

10.5.1 小波变换及基小波波形 420

10.5.2 小波变换技术在信号处理中的应用 424

10.5.3 小波问题的程序界面 427

10.6 分数阶微积分学问题求解及应用 428

10.6.1 分数阶微积分的定义 429

10.6.2 不同分数阶微积分定义的关系与性质 430

10.6.3 分数阶微积分的计算方法 431

10.6.4 分数阶线性微分方程的求解方法 437

10.6.5 基于框图的非线性分数阶微分方程近似解法 441

10.6.6 分数阶传递函数模型与分析 446

10.7 习题 451

参考文献 453

MATLAB函数名索引 455

术语索引 461